代数学III 要約 No.10

今日のテーマ

以下、この講義では「ガロア拡大」と言えば有限次ガロア拡大を 意味することにする。さらに、「体」と言えば有理数体 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を 部分体として含むようなものをさすことにする。

$L$ が $K$ のガロア拡大であるとき、 $\operatorname{Gal}(L/K)$ の元はどのくらいあるのだろうか。

定理 10.1   $L$ が $K$ のガロア拡大のとき、

$$\vert\operatorname{Gal}(L/K)\vert=[L:K]$$

系 10.1   $L$ が $K$ のガロア拡大のとき、

1. $L$ の部分体 $M$ で $K$ を含むもの($L$ と $K$ の中間体) が与えられると、 $\operatorname{Gal}(L/M)$ は $\operatorname{Gal}(L/K)$ の部分群とみなすことができる。
2. $L$ と $K$ のあいだの二つの中間体 $M_1,M_2$ が $M_1 \subset M_2$ をみたすならば、
   $$\operatorname{Gal}(L/M_1)\supset \operatorname{Gal}(L/M_2)$$
   をみたす。

簡単に言えば、拡大 $L/K$ の話を群 $G=\operatorname{Gal}(G/K)$ の話に 置き換えられるのである。中間体 $M$ は $G$ の部分群 $H=\operatorname{Gal}(M/K)$ に対応させる。

ガロア群の例を幾つか挙げよう。

例 10.1   $\operatorname{Gal}($$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{2})/$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$)$ の元 $\sigma$ は、 $\sigma(\sqrt{2})$ の行き先が $\sqrt{2}$ か $-\sqrt{2}$ であるかによって定まり、

$$\operatorname{Gal}($$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{2})/$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$) \cong C_2 \quad($$位数 2 の巡回群$$)$$

例 10.2   $\operatorname{Gal}($$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{2},\sqrt{5})/$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$)$ の元 $\sigma$ は、 $\sigma(\sqrt{2})$ と $\sqrt{5}$ の行き先で 定まり、

$$\operatorname{Gal}($$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{2},\sqrt{5})/$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$) \cong C_2 \times C_2$$

例 10.3   $\omega=(-1+\sqrt{-3})/2$ とする。 $\operatorname{Gal}($$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[3]{2},\omega)/$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$)$ の元 $\sigma$ は、 $\sigma(\sqrt[3]{2})$ と $\omega$ の行き先で 定まり、

$$\operatorname{Gal}($$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt[3]{2},\omega)/$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$) \cong \mathfrak{S}_3$$

問題 10.1   $\operatorname{Gal}($$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{2}+\sqrt{7})/$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$)$ はどのような群になるだろうか。