代数学III 要約 No.12

今日のテーマ

この講義では、体と言えば $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を含むものをさすことに注意しておく。

定理 12.1 (ガロアの基本定理)   $L$ が $K$ のガロア拡大のとき、 $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ とおくと、

$$\mathcal G=\{$$    $G$ の部分群$$\}$$

と

$$\mathcal F=\{$$    $L$ と $K$ の中間体$$\}$$

のあいだには一対一対応がつく。その対応は、

$$\Phi(H)=L^H$$

$$\Psi(M)=\operatorname{Gal}(L/M)$$

で与えられる。

実際には、上の対応は更に詳しく分かっていて、 一方がよい性質を持てば他方もそうなる、という具合なのであるが、 まずは二つのものが対応するという上の定理が基本だろう。

系 12.1   $L$ が $K$ のガロア拡大ならば、 $L$ と $K$ のあいだの中間体は 有限個しかない。

例 12.1   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$ と $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ のあいだの中間体は

$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$, $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{2},\sqrt{3})$, $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{2},\sqrt{5})$, $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{3},\sqrt{5})$, $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{2})$, $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{3})$, $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{5})$, $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ の8つである。

ガロアの基本定理は、体論の様々なことがらの見通しをよくする。

例 12.2   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上の $x=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ の最小多項式の次数は $8$ であると予想できるが、その証明はいままで(半ば暗黙のうちに) 先伸ばしにして来た。 実際 $8$ であることを確かめるのには、 $[$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(x):$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$]=8$ を言えばよい。それには $L=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$ なる体を補助的に考えて、 $[L:$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$]=8$ および $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(x)=L$ の二つを言うことになる。 前者は比較的容易である。そして、それを証明しておけば $\operatorname{Gal}(L/$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$)$ の構造が ( $C_2\times C_2\times C_2$ と同型である、生成元、実際の作用等)わかる。 そして、$x$ が、 ${\operatorname{id}}$ を除くガロア群のどの元でも不変でないことから、 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(x)$ は $L$ と一致することがわかる。これらのことはほとんど 暗算でできるほど容易な計算で確かめられる。これが基本定理の威力である。

問題 12.1   有理数 $a,b$ で、

   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(a \sqrt{3}+b \sqrt{6})=$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6})$$

とならないような $a,b$ はどのようなものか。全て求めなさい。