代数学演習 I 問題 No.2

注意これからは、とくにことわらない限り、単位元をもつ環のみを扱う。「環」といえば、単位元を持つ環と解釈していただきたい。(単位元の存在がとくに重要な時には、一応ことわる。)ただし、積が可換であるとはまだ仮定しない。

問題 2.1 $% latex2html id marker 1219 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+\mbox{${\sqrt {-1}}$}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}=\{a+b\mbox{${\sqrt {-1}}$};a,b\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$$ は環となることを示しなさい。( $% latex2html id marker 1221 $ \mbox{${\sqrt {-1}}$}$$ は虚数単位をあらわす記号です。)

問題 2.2 単位元

を持つ環

の元

にたいして、

	$\displaystyle xy=1$ (すなわちはの右逆元である。)
	$\displaystyle zx=1$ (すなわちはの左逆元である。)

が成り立つとき、

であって、

$\displaystyle xy=yx=1$ (すなわち $y(=z)$ は $x$ の逆元である)

が成り立つことを示しなさい。

定義 2.1 単位元の存在する環

において、逆元が存在するような元のことを、

の可逆元とか、単元、あるいは単数といいます。

問題 2.3

を単位元の存在する環とします。

の可逆元全体 $R^{\times}$ は群をなすことを示しなさい。

問題 2.5 $% latex2html id marker 1265 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\mbox{${\sqrt {-1}}$}$$ の単数群を求めなさい。

問題 2.6 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$

$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 1271 $ \mbox{${\sqrt {-1}}$}$$ $=\{a+b$ $% latex2html id marker 1273 $ \mbox{${\sqrt {-1}}$}$$ $;a,b\in$ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $\}$ は体となることを示しなさい。

定義 2.3 (部分環の定義)

が単位元をもつ環であるとする。

の部分集合

が

の部分環であるとは、

が次の条件を満たす時にいう。

はの足し算、かけ算を流用することにより環になっている。
はの単位元を元として持つ。

問題 2.7 次のものは複素数全体のなす環 ${\mathbb{C}}$ の部分環であるか、理由をつけて答えなさい。

整数全体の集合 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
有理数全体の集合 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ .
$% latex2html id marker 1304 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+\sqrt{-1}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}=\{x+\sqrt{-1}y; x,y \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$$ .
複素数を成分にもつ二次行列全体の集合 $M_2({\mathbb{C}})$ .

問題 2.8 ${\mathbb{C}}$ の部分環

が、 $% latex2html id marker 1313 $ 1,\sqrt{2}+\sqrt{5}$$ を元として持っているとします。この時、 $% latex2html id marker 1315 $ 2\sqrt{10},6\sqrt{2},6\sqrt{5}$$ も

の元であることを示しなさい。

定義 2.4 単位元をもつ可換環

が

$\displaystyle ab=0 (a,b\in R)\ \implies a=0$ or $\displaystyle b=0$

を満たす時、

を整域とよぶ

問題 2.9 $M_2({\mathbb{C}})$ の部分集合

$\displaystyle \left\{ \begin{pmatrix} k+2l &0\\ 0 &k+3l \end{pmatrix}; k,l\in {\mathbb{C}} \right\}$

は加法、減法、乗法について閉じていることを示し、これが単位元をもつ可換環であることを言いなさい。さらに、この環は整域ではないことを示しなさい。

問題 2.10

が可換環

の部分環であるとき、

も可換環になり、さらに

が整域であれば

も整域であることを示しなさい。

問題 2.11 実数を成分に持つ

-次正方行列のなす集合

$\mbox{${\mathbb{R}}$}$

は通常の算法によって環になることを定義に沿って説明しなさい。

問題 2.12

$\mbox{${\mathbb{R}}$}$

の元

が零因子である必要十分条件は $\operatorname{det}(A)=0$ であることを示しなさい。

問題 2.13 環

の元

がある正整数

により

となるとき、

を巾零元と言います。もし

が単位元

を持ち、

が

の巾零元とするならば、

は

の単元となることを示しなさい。

問題 2.15 有理数体 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分環として含むような ${\mathbb{C}}$ の部分環

(つまり、 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $\subset R\subset {\mathbb{C}}$ ) が $% latex2html id marker 1393 $ \sqrt{2}+\sqrt{3}$$ を元として含むとき、 $% latex2html id marker 1395 $ \sqrt{2},\sqrt{3}$$ も

の元であることを示しなさい。

問題 2.16 有理数体 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分環として含むような ${\mathbb{C}}$ の部分環

が $% latex2html id marker 1406 $ \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$$ を元として含むとき、 $% latex2html id marker 1408 $ \sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}$$ も

の元であることを示しなさい。

問題 2.17 有理数体 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分環として含むような ${\mathbb{C}}$ の部分環

について、次の二つの条件は同値であることを示しなさい。

$% latex2html id marker 1419 $ \sqrt{3}+\sqrt{7}\in R$$ .
$% latex2html id marker 1421 $ \sqrt{3}\in R$$ かつ $% latex2html id marker 1423 $ \sqrt{7}\in R$$ .

問題 2.18 前問で、

が $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分環として含む、という条件を外しても同様のことが言えるだろうか。正しいなら証明し、間違っているなら反例をあげなさい。

問題 2.19 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分環として含むような ${\mathbb{C}}$ の部分環

で、体でないようなものは存在するだろうか。 (難問である。この問題については大枠が示せれば良い。)

問題 2.20

$% latex2html id marker 1438 $ S={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\... ...hbb{Z}}$}}\sqrt{3}=\{k+l\sqrt{2}+m\sqrt{3}; k,l,m\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\} $$ は ${\mathbb{C}}$ の部分環だろうか？
を含む、 ${\mathbb{C}}$ の部分環で、最小のもの(つまり、で生成される ${\mathbb{C}}$ の部分環はなにか？