代数学演習 I 問題 NO.6

環の準同型定理編

問題 6.1 (全部で 1 点). ℝ から ℝ への次の写像はいずれも環準同型でないことを示しなさい。

(1) f_{1}(x) = (x + 1)/2

(2) f_{2}(x) = x^{2}

(3) f_{3}(x) = 2x

(4) f_{4}(x) = x^{3} + x^{2} − x

問題 6.2. ℤ から ℤ への環準同型は存在するだろうか。存在する場合には全て挙げ、存在しない場合はその理由をのべよ。

問題 6.3. ℤ/5ℤ から ℤ への環準同型は存在するだろうか。存在する場合には全て挙げ、存在しない場合はその理由をのべよ。

問題 6.4. ℚ から ℤ への環準同型は存在するだろうか。存在する場合には全て挙げ、存在しない場合はその理由をのべよ。

問題 6.5. ℝ から ℝ への環準同型は唯一つしかないことを証明せよ。 (ちょっと難問である。 )

問題 6.6. ℂ から ℂ への準同型写像の例を二つ (以上) 挙げなさい。 (二つはかなり簡単に見つかるが、三つめを挙げるのは超難問である。それゆえ二つ答えるのが無難である。 )

以下この演習では、とくに断らないで [?]_{n} で ? の ℤ/nℤ でのクラスを表すことがある。文脈でわかると思うので、いちいち書かないが、注意していただきたい。

問題 6.7. ℤ/20ℤ から ℤ/5ℤ への写像 f を

f([x]_{20}) = [x]_{5} (x ∈ ℤ)

で定める。このとき、 f はうまく定義されていて、環準同型であることを示しなさい。

問題 6.8. ℤ/11ℤ から ℤ/5ℤ への写像 f を

f([x]_{11}) = [x]_{5} (x ∈ ℤ)

で定めたいが、 f はうまく定義されていて、環準同型であるだろうか。理由をつけて答えなさい。

問題 6.9. 体 K から環 R への準同型写像は必ず単射であることを示しなさい。

問題 6.10. 環準同型写像 f : ℤ/18ℤ → ℤ/6ℤ を考える。一行目に x ∈ ℤ/18ℤ (18 個), 二行目に f(x) が並んだような表を作り、 Ker(f), f^{−1}([1]_{6}), f^{−1}([2]_{6}) をそれぞれ求めなさい。