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代数学演習 I 問題 No.6

\fbox{環の準同型定理編}

問題 6.1 (全部で1点)   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ から $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ への次の写像はいずれも環準同型でないことを示しなさい。
  1. $ f_1(x)=(x+1)/2$
  2. $ f_2(x)=x^2$
  3. $ f_3(x)=2 x$
  4. $ f_4(x)=x^3+x^2-x$

問題 6.2   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への環準同型は 存在するだろうか。存在する場合には全て挙げ、 存在しない場合はその理由をのべよ。

問題 6.3   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への環準同型は 存在するだろうか。存在する場合には全て挙げ、 存在しない場合はその理由をのべよ。

問題 6.4   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への環準同型は 存在するだろうか。存在する場合には全て挙げ、 存在しない場合はその理由をのべよ。

問題 6.5   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ から $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ への環準同型は 唯一つしかないことを証明せよ。(ちょっと難問である。)

問題 6.6   $ {\mathbb{C}}$ から $ {\mathbb{C}}$ への準同型写像の例を二つ(以上)挙げなさい。 (二つはかなり簡単に見つかるが、三つめを挙げるのは超難問である。 それゆえ二つ答えるのが無難である。)

以下この演習では、とくに断らないで $ [?]_n$$ ?$ $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ でのクラスを表すことがある。 文脈でわかると思うので、いちいち書かないが、注意していただきたい。

問題 6.7   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/20{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $ f$

% latex2html id marker 1005
$\displaystyle f([x]_{20})=[x]_5 \qquad (x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})
$

で定める。 このとき、$ f$ はうまく定義されていて、環準同型である ことを示しなさい。

問題 6.8   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/11{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $ f$

% latex2html id marker 1016
$\displaystyle f([x]_{11})=[x]_5 \qquad(x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})
$

で定めたいが、$ f$ はうまく定義されていて、環準同型である だろうか。理由をつけて答えなさい。

問題 6.9   体 $ K$ から 環 $ R$ への準同型写像は 必ず単射であることを示しなさい。

問題 6.10   環準同型写像 $ f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/18{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を考える。 一行目に $ x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/18{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ (18個), 二行目に $ f(x)$ が並んだような表を作り、 $ \operatorname{Ker}(f)$, $ f^{-1}([1]_6)$, $ f^{-1}([2]_6)$ をそれぞれ求めなさい。



平成17年11月21日