代数学演習 I 問題 NO.7

環の準同型定理編

問題 7.1. (準同型定理) f : R → S を環の間の準同型とするとき、次のことを示しなさい。

(1) f の核 I = ker f = f^{−1}(0) は R のイデアルである。

(2) f(r) = f(r′) ⇔ r − r′ ∈ I。

(3) f̄: R/I ∋ r̄ ↦ f(r) ∈ S は代表元の取りかたによらずに定義されている。

(4) f̄ は単射準同型写像である。

(5) f が全射ならば、 f̄ は同型写像である。

例題 7.1. (準同型定理の使い方)

(1) 4ℤ/12ℤ は ℤ/12ℤ のイデアルであることを示しなさい。

(2) (ℤ/12ℤ)/(4ℤ/12ℤ) を求めよ。

(1),(2) を一遍に解決する。以下、整数 m にたいし、 m の ℤ/12ℤ での同値類を [m]_{12} と書き、 m の ℤ/3ℤ での同値類を [m]_{4} と書くことにする。写像 f : ℤ/12ℤ → ℤ/4ℤ を

f : [m]_{12} → [m]_{4}

で定義すれば、これが代表元によらずにうまく定義されており、準同型写像であることはすぐに分かる。 f の核は

{m̄; m は 4 の倍数} = 4ℤ/12ℤ

で、準同型写像の核はイデアルだから、 4ℤ/12ℤ は ℤ/12ℤ のイデアルである。 (→ (1))

f は全射だから、準同型定理(前問)により、 f̄: (ℤ/12ℤ)/(4ℤ/12ℤ) → ℤ/4ℤ は同型を与える。 (→ (2) (答え： ℤ/4ℤ))

問題 7.2. 次の環 R とそのイデアル I について、 R/I を求めよ。 (1) R = ℤ/48ℤ, I = 8R.

(2) R = ℂ[X]/((X + 1)(X − 1)ℂ[X]), I = (X + 1)R.

問題 7.3. 同型 ℂ[X]/(X − 3)ℂ[X] ≅ ℂ を示しなさい。

問題 7.4. ℤ[\sqrt{−1}]/(1 + \sqrt{−1}) ≅ ℤ/2ℤ を示しなさい。

問題 7.5. f : ℝ → S を環の準同型とします。 S のイデアル J をとって、

I = f^{−1}(J)

とおくと、 I は R のイデアルであって、単射準同型 f̄: R/I → S/J が f により自然に定義されることを示しなさい。

問題 7.6. R = ℤ[\sqrt{10}] のイデアル I = (2, \sqrt{10}) による剰余環 R/I は ℤ/2ℤ と同型であることを示し、 I が R の素イデアルであることを言いなさい。