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代数学演習 I 問題 No.8

\fbox{準同型定理編(2)} 今回(No.8)は、「環」と言えば単位元を持つ可換環のことを指すことにします。また、「準同型」は単位元を保つものだけを考えることにします。

問題 8.1   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 959
$ [\sqrt{2}]\cong$   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [X]/(X^2-2)$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [X]$ を示しなさい。

問題 8.2   有理数体 $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ の部分集合 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[1/5]=\{m/5^n; m\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}; n=0,1,2,\dots,)$ $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ の部分環になることを示しなさい。

問題 8.3  

$\displaystyle (5X-1)$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\displaystyle [X]\cap {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]=(5X-1){\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]
$

を示しなさい。

問題 8.4  

$\displaystyle {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[1/5]\cong {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]/(5X-1){\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]
$

を示しなさい。

問題 8.5   環 $ R$ のイデアル $ I$ と変数 $ X$ について、次の同型を示しなさい。

$\displaystyle R[X]/IR[X] \cong (R/I)[X]
$

問題 8.6   環 $ S$ の部分環 $ R$$ S$ のイデアル $ I$ について、

$\displaystyle R+I=\{r+a;r\in R,a \in I\}
$

は、$ S$ の部分環となることを示しなさい。

問題 8.7   環 $ S$ の部分環 $ R$$ S$ のイデアル $ I$ について、

% latex2html id marker 1011
$\displaystyle S=R+I, \quad R\cap I=0
$

が成り立てば、 $ S/I\cong R$ となることを示しなさい。

問題 8.8   環準同型 $ f:R\to S$ について、$ J$$ S$ のイデアルであれば、 $ f^{-1}(J)$$ R$ のイデアルとなることを示しなさい。

問題 8.9   環準同型 $ f:R\to S$ について、 $ I$$ R$ のイデアルのとき、$ f(I)$$ S$ のイデアルとなりますか?(ならなければ反例を挙げてください。)$ f$ が全射ならどうですか?

問題 8.10   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/7{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元をすべて書き並べて、$ \bar{0}$ 以外の元の逆元をそれぞれ求めなさい。

問題 8.11   $ K$ を体とします。このとき同型 $ K[X,Y]/XK[X,Y]\cong K[Y]$ を示しなさい。

問題 8.12   環 $ S$ とその部分環 $ R$ とについて、$ P$$ S$ の素イデアルならば、$ P\cap R$$ R$ の素イデアルであることを示しなさい。「素イデアル」を「極大イデアル」にかえるとどうか?

問題 8.13   環 $ R$ のイデアルに $ I$ について、 $ I\cdot I$$ I^2$ と略記します。$ J$$ R$ のイデアルで、$ I+J=R$ となれば、$ I^2+J^2=R$ となることを示しなさい。

問題 8.14   整域 $ R$ の元 $ a,b$ について、次を示しなさい。
  1. $ a\vert b$ である(すなわち、ある $ c\in R$ があって、 $ b=ac$ と書ける)ことと、 $ aR\subset bR$ とは同値である。
  2. $ a$$ b$ とが同伴である(すなわち、$ a\vert b$ かつ $ b\vert a$ が成り立つ)ことと、 $ aR=bR$ とは同値である。

問題 8.15   実数体 $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上の多項式 $ aX^2+bX+c$ が環 $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ [X]$ で既約となる条件は、$ b^2-4ac<0$ であることを示しなさい。

問題 8.16   体 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/7{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 上の二次式 $ X^2-a$ ( $ a=\bar{0},\bar{1},\dots,\bar{6}$) が既約かどうかをそれぞれの $ a$ について調べなさい。

問題 8.17   $ 2^{100000}$$ 17$ で割った余りを求めなさい。

問題 8.18   自然数 $ n$ が与えられたとします。次の関係式を満たす $ f,g\in {\mathbb{C}}[X]$ を一組見つけなさい。

$\displaystyle (1+X)f(X)+X^ng(X)=1
$


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平成17年12月5日