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代数学演習 I 問題 No.11

\fbox{環の直積分解}

問題 11.1   $ ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}) $ の元を全て挙げなさい。

問題 11.2   $ ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})^\times $ の元を全て挙げなさい。

問題 11.3   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ であることを示しなさい。

問題 11.4   $ l,m$ を互いに素な正の整数とし、

$\displaystyle f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/lm{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\...
...{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/m{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}
$

$\displaystyle f([x]_{lm})=([x]_l,[x]_m)
$

で決める。このとき、
  1. $ f$ はうまく定義されていることを示しなさい。
  2. $ f$ は環準同型であることを示しなさい。
  3. $ f$ の核はどうなるか?
  4. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/lm{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/l{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/m{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元の個数をそれぞれ言いなさい。
  5. $ f([x]_{lm})=([1]_l,[0]_m)$ を満たす整数 $ x$ が 存在することを示しなさい。
  6. 上の $ x$ にたいして、

    $\displaystyle x= k_1 l +1 =k_2 m
$

    なる整数 $ k_1,k_2$ が存在することを示し、そのことから、

    $\displaystyle a l +b m=1
$

    を満たす $ l,m$ が存在することの証明を与えなさい。

問題 11.5  
  1. $ {\mathbb{C}}[X]$ のなかの元 $ f(X)$ で、 $ 3 X$ で割ると $ 1$ 余り、 $ 5 X^2-1$ で割ると $ X+3$ 余るような ものの例を一つ挙げなさい。
  2. 上のような $ f(X)$ を全て求めなさい。



平成18年1月13日