代数学I要約 No.1

この講義の前半では、次の定理の証明を目標とする。

定理 1.1 (環の準同型定理)   環 $R$ から別の環 $S$ への準同型写像 $\phi:R\to S$ が与えられたとする。 このとき、次が成り立つ。

1. $\phi$ の像 $\operatorname{Image}\phi$ は $S$ の部分環である。
2. $\phi$ の核 $I=\operatorname{Ker}\phi$ は $R$ のイデアルである。
3. 剰余環 $R/I$ は $\operatorname{Image}\phi$ と同型である。

後半では、環や体の実例、とくに「一次元の環」 について詳しく扱う。

《環の定義・部分環の定義》

環とは、足し算、引き算と掛け算ができる集合のことである。

部分環とは、部分集合であって環になっているもののことである。

定義 1.1 (環の定義)   集合 $R$ が環であるとは、足し算と呼ばれる写像

$$+: R\times R \to R$$

と掛け算と呼ばれる写像

$$\times :R\times R \to R$$

が定義されていて次の性質を満たす時に言います。

1. $R$ は足し算に関して可換群をなす。($R$ の足し算に関する単位元を $R$ の零元といい、0 (時には $0_R$) と書く。)
2. $R$ の積は結合法則を満たす。
3. $R$ の足し算と掛け算は分配法則を満たす。すなわち、任意の $a,b,c \in R$ に対して、次のことが成り立つ。
   $$(a+b)\times c=a\times c+b\times c,\quad c\times (a+b)=c\times a+c\times b$$

4. $R$ は積に関して単位元を持つ。すなわち、ある $u\in R$ が存在して、 すべての $x\in R$ に対して、 $xu=x$ かつ $ux=x$ が成り立つ。

例 1.1   次のものは通常の足し算、掛け算によって環になる。

1. (重要)整数全体のなす集合 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$.
2. 有理数全体のなす集合 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$.
3. 実数全体のなす集合 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$.
4. 複素数全体のなす集合 ${\mathbb{C}}$.
5. 実数を成分として持つ2次の正方行列全体のなす集合 $M_2($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$.
6. (重要)実数上の一変数多項式全体のなす集合 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$[X]$.

補題 1.1   環 $R$ の単位元は、ただ一つである。

今後、環 $R$ の単位元を $1$ (時には $1_R$)と書く。

定義 1.2 (部分環の定義)   $R$ が単位元をもつ環であるとする。$R$ の部分集合 $S$ が $R$ の部分環であるとは、$S$ が次の条件を満たす時にいう。

1. $S$ は $R$ の足し算、かけ算を流用することにより環になっている。
2. $S$ は $R$ の単位元を元として含む。

例 1.2   次のものは複素数全体のなす環 ${\mathbb{C}}$ の部分環である。

1. 整数全体の集合 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$.
2. 有理数全体の集合 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$.
3. 実数全体の集合 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$.
4. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+\sqrt{-1}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}=\{x+\sqrt{-1}y; x,y \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$.

※レポート問題

つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。)

問題 1.1   ${\mathbb{C}}$ の部分環 $R$ が $\sqrt {-2}$ を含んだとします。 このとき、$R$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+\sqrt{-2}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を部分集合として含むことを示しなさい。

問題 1.2   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+\sqrt{-2}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は ${\mathbb{C}}$ の部分環であることを示しなさい。