代数学 I No.2要約

定義 2.1 (「生成される部分環」)   $R$ を単位元を持つ環とし、$T$ をその部分集合とする。 $R$ の部分環 $S$ が $T$ で環として生成されるとは、 次の三つの条件が満たされる時にいう。

1. $S$ は $T$ を部分集合として含む。
2. $S$ は $R$ の部分環である。
3. $S$ は 1.,2.を満たす最小のものである。

補題 2.1   単位元を持つ環 $R$ と、その部分集合 $T$ が与えられていたとする。このとき、 $R$ の部分環 $S$ で、$T$ で環として生成されるものがただ一つ存在する。 ($S$ のことを $T$ で生成される $R$ の部分環といい、 $\langle T \rangle_{\text{ring}}$ と書く。

注意

「部分環」の定義により、 $\langle T \rangle_{\text{ring}}$ は($T$ が何であっても) 常に $R$ の単位元 $1_R$ を元としてもつ。 しかし、単位元の存在を意識しておくために、以下では 始めから $T$ には $R$ の単位元 $1_R$ が入ったものだけを考えることにする。

例 2.1   ${\mathbb{C}}$ の部分集合 $T$ と、それによって生成される ${\mathbb{C}}$ の部分環 $\langle T \rangle_{\text{ring}}$ の例。

1. $T=\{1\} \quad \implies \quad\langle T \rangle_{\text{ring}}={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$.
2. $T=\{1,\sqrt{-1}\}\quad \implies \quad \langle T \rangle_{\text{ring}}={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\sqrt{-1}$
3. $T=\{1,\sqrt{2}\}\quad \implies \quad \langle T \rangle_{\text{ring}}={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\sqrt{2}$
4. $T=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\cup \{\sqrt{2}\} \quad \implies \quad \langle T \rangle_{\text{ring}} =\mbox{${\mathbb{Q}}$}+\mbox{${\mathbb{Q}}$}\sqrt{2}$
5. $T=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\cup \{\sqrt[3]{2}\} \quad \implies \quad \langle... ...\mathbb{Q}}$}+\mbox{${\mathbb{Q}}$}\sqrt[3]{2}+\mbox{${\mathbb{Q}}$}\sqrt[3]{4}$

上の補題の証明の途中で、次の補題が必要になるので、ここに掲げておく。

補題 2.2 (「任意個数の部分環の共通部分はまた部分環である。」)   $R$ は環であるとし、 $\{S_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda}$ は $R$ の部分環の族であったとする。このとき、

$$S=\cap_\lambda S_\lambda$$

もまた $R$ の部分環になる。

実際には、生成される部分環には次のパターンのものがよく使われる。

定義 2.2   $R$ を環、$S$ をその部分環とする。$R$ の元 $r_1,\dots,r_n$ が与えられたとき、 $R$ の部分集合 $S\cup \{r_1,\dots,r_n\}$ で生成される部分環を、 $S[r_1,\dots,r_n]$ と書き、$S$ 上 $\{r_1,\dots,r_n\}$ で生成された環とよぶ。

この記法によれば、上の例の4.,5. はそれぞれ次のように書ける。

   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$[\sqrt{2}]=$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$+$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$\sqrt{2} ,$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$[\sqrt[3]{2}] =$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$+$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$\sqrt[3]{2}+$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$\sqrt[3]{4}$$

このように、 $S[r_1,\dots,r_n]$ が実際にはどのような元を もつのか決定することも基本的で、重要である。それは通常 次の手順で行う。

1. $S[r_1,\dots,r_n]$ の候補 $T$ を探す。
2. $T$ は $S[r_1,\dots,r_n]$ を部分集合として含むことを証明する。
3. $T$ は $R$ の部分集合であることを証明する。
4. $T$ の元は $S$ と、 $r_1,\dots,r_n$ から構成し得ることを 証明する。言い換えると、 $S\cup \{r_1,\dots,r_n\}$ を部分集合として含む $R$ の部分環は、必ず $T$ を含むことを証明する。

定義 2.3   $R$ は環であるとする。このとき、$X$ を変数とする $R$ 係数の一変数多項式の全体

$$\{\sum_{i=0}^n a_iX^i ;\quad n\in \mathbb{N}, a_i \in R\}$$

は環をなす。(足し算、かけ算は通常のものを考える。) この環を $X$ を変数とする $R$ 上の一変数多項式環という。

定理 2.1   $X$ を変数とする $R$ 上の一変数多項式環は、$R$ と、$X$ とで生成される。

$$\{\sum_{i=0}^n a_iX^i ;\quad n\in \mathbb{N}, a_i \in R\} =\langle R\cup \{X\} \rangle_{\text{ring}}=R[X]$$

(したがって、これからは $R$ 上の一変数多項式環のことを $R[X]$ と書く。)

注意

代数I の範囲では他に ${\mathbb{C}}[X],$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ 等が重要になる。 ( $\mbox{${\mathbb{R}}$}$, ${\mathbb{C}}$, $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ は全て体である。すなわち積は可換であり、 0 以外の各元は逆元を持つ。)

※レポート問題

つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。)

(I).

${\mathbb{C}}$ の部分環 $S$ が、 $1,\sqrt{2}+\sqrt{5}$ を元として持っているとする。 この時、 $2\sqrt{10},6\sqrt{2},6\sqrt{5}$ も $S$ の元であることを示しなさい。

(II).

${\mathbb{C}}$ の、 $\{1,\sqrt{2},\sqrt{5}\}$ で生成される部分環は、

$${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+{\mbox{${\mat... ...}}$}}\sqrt{2}+{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\sqrt{5}+{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\sqrt{10}$$

であることを示しなさい。

(III).

$M_2($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ の、$\{E,A\}$ で生成される部分環を求めなさい。 ただし、$E$ は単位行列、$A$ は次のような二次行列とします。

$$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$