代数学 I NO.4 要約

今日のテーマ復習今日は復習と、定理や補題などの証明の残していた部分を行う。そ

のあと、次のことについても言及しよう。

例題 4.1. 200511011 を 9 で割った余りを求めよ。

(解答) 整数 n の ℤ/9ℤ におけるクラス (剰余類) を n̄ と書くことにする。一般に、\overline{10} = \overline{1} であることに注意すると、

\overline{10}^{k} = \overline{1} (k ∈ ℤ_{>0})

というという等式が成り立つことがわかる。これを用いると、

\overline{200511011} = \overline{2 × 10^{8} + 0 × 10^{7} + 0 × 10^{6} + 5 × 10^{5}}
\overline{+1 × 10^{4} + 1 × 10^{3} + 0 × 10^{2} + 1 × 10^{1} + 1}
=\overline{2} × \overline{10}^{8} + \overline{0} × \overline{10}^{7} + \overline{0} × \overline{10}^{6} + \overline{5} × \overline{10}^{5}
+ \overline{1} × \overline{10}^{4} + \overline{1} × \overline{10}^{3} + \overline{0} × \overline{10}^{2} + \overline{1} × \overline{10}^{1} + \overline{1}
= \overline{2} + \overline{0} + \overline{0} + \overline{5} + \overline{1} + \overline{1} + \overline{0} + \overline{1} + \overline{1}
= \overline{2 + 0 + 0 + 5 + 1 + 1 + 0 + 1 + 1}
= \overline{11} = \overline{1 × 10 + 1} = \overline{1 + 1} = \overline{2}

を得る。 (答え) 2 (注意) 九去算は計算機のない時代に、計算の確かめの目的で使われた。現在でも、占い (バカラ占い) 等で名残を見かけることがある。

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) 3141592654 × 2718281828 を 9 で割ったあまりを求めなさい。 (II) (講義で追加する (かも?))