1=4 1 by -1     

代数学 I No.4要約

復習

今日は復習と、定理や補題などの証明の 残していた部分を行う。そのあと、次のことについても 言及しよう。

例題 4.1   $200511011$ を $9$ で割った余りを求めよ。

(解答) 整数 $n$ の ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/9{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ におけるクラス(剰余類)を $\bar{n}$ と書くことにする。 一般に、 $\overline{10}=\overline{1}$ であることに注意すると、

$$\overline{10}^k =\overline{1} \quad (k\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0})$$

というという等式が成り立つことがわかる。これを用いると、

$$\overline{200511011} = \overline{ 2\times 10^8 +0\times 10^7 +0\times 10^6 +5\times 10^5 }$$

$$\overline{ + 1\times 10^4 +1\times 10^3 +0\times 10^2 +1\times 10^1 +1 }$$

$$= \overline{2}\times \overline{10}^8 +\overline{0}\times \overline{10}^7 +\overline{0}\times \overline{10}^6 +\overline{5}\times \overline{10}^5$$

$$+\overline{1}\times \overline{10}^4 +\overline{1}\times \overline... ...line{0}\times \overline{10}^2 +\overline{1}\times \overline{10}^1 +\overline{1}$$

$$= \overline{2} +\overline{0} +\overline{0} +\overline{5} +\overline{1} +\overline{1} +\overline{0} +\overline{1} +\overline{1}$$

$$=\overline{2+0+0+5+1+1+0+1+1}$$

$$=\overline{11}=\overline{1\times 10+1}=\overline{1+1}=\overline{2}$$

を得る。

(答え)     $2$

(注意) 九去算は計算機のない時代に、計算の確かめの目的で使われた。現在でも、 占い(バカラ占い)等で名残を見かけることがある。

※レポート問題

つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。)

(I).

$3141592654 \times 2718281828$ を9で割ったあまりを 求めなさい。

(II).

(講義で追加する(かも?))