代数学 I NO.6 要約

今日のテーマ《準同型と準同型定理》

定義 6.1. R, S はともに環であるとし、 f : R → S をその間の写像とする。このとき、 f が R から S への環準同型写像であるとは、次の条件が成り立つときにいう。

(1) f は (R, +) から (S, +) への群としての準同型である。すな

わち、

f(a + b) = f(a) + f(b)

が、すべての R の元 a, b について成り立つ。

(2) f は R の積を S の積にうつす。すなわち、

f(ab) = f(a)f(b)

が、すべての R の元 a, b について成り立つ。

(3) f は (R の) 単位元を (S の) 単位元にうつす。すなわち、

f(1_{R}) = 1_{S}

が成り立つ。

群 (加法群) についての準同型の知識を使うと、次のことは直ちにわかる。

補題 6.1. 環準同型 f : R → S について、 (1) f(0_{R}) = f(0_{S}) が成り立つ。

(2) f(−a) = −f(a) が全ての a ∈ R に対して成り立つ。

つぎに、準同型定理の説明にはいる。

定義 6.2. 環準同型 f : R → S について、 f^{−1}(0)(= {r ∈ R; f(r) = 0}) のことを、 f の核 (Kernel) と呼び、 Ker(f) で書き表す。

f の像 (Image) とは、通常通り、

{f(r); r ∈ R}

のことである。

補題 6.2. 任意の環準同型 f : R → S にたいして、 (1) Ker(f) は R のイデアルである。

(2) Image(f) は S の部分環である。

定理 6.1. 環準同型 f : R → S について、 R の同値関係 ∼_{f} を

x ∼_{f} y ⇔ f(x) = f(y)

で定義し、また r ∈ R の R/ Ker(f) でのクラスを r̄ とすると、次のことが成り立つ。

(1) x, y ∈ R にたいして、

x ∼_{f} y⇔x̄ = ȳ

が成り立つ

(2) f は

R/ Ker(f) ∋ r̄ ↦ f(r) ∈ Image(f) (r ∈ R)

なる全単射準同型を誘導する。定義 6.3. 環のあいだの全単射準同型のことを、同型とよぶ。容易にわかるように、環のあいだの同型 f : R → S が与えられたとき、 f の逆写像 f^{−1} は S から R への同型になる。

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) 環の準同型 f : ℤ/15ℤ ∋ [a]_{15} ↦ [a]_{5} ∈ ℤ/5ℤ ([?]_{n} は ? の ℤ/nℤ におけるクラス) を考える。 (本当は、 f がうまく定義されていること、さらに f が実際に環の準同型であることを諸君が証明すべきだが、ここではそれは要求しない。 ) このとき、

(a) ℤ/15ℤ の元 x 15 個のそれぞれについて、 f(x) を書きなさい。

(b) ℤ/5ℤ の元 y 5 個のそれぞれについて、 f^{−1}(y) を書きな

さい。 (II) ℤ/11ℤ ∋ [n]_{11} ↦ [n]_{5} ∈ ℤ/5ℤ はうまく定義されて、環準同型

になるだろうか。 (III) 正の整数 k, l が与えられたとき、 k, l にどのような関係があれ

ば、 ℤ/kℤ ∋ [n]_{k} ↦ [n]_{l} ∈ ℤ/lℤ はうまく定義されて、環準同型になるのか、答えなさい。