next up previous
: この文書について...

1=6 1 by -1     

代数学 I No.6要約

\fbox{今日のテーマ} 《準同型と準同型定理》

定義 6.1  

$ R,S$ はともに環であるとし、$ f:R\to S$ をその間の写像とする。 このとき、$ f$$ R$ から $ S$ への環準同型写像であるとは、次の条件が成り立つ ときにいう。

  1. $ f$$ (R,+)$ から $ (S,+)$ への群としての準同型である。すなわち、

    $\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)
$

    が、すべての $ R$ の元 $ a,b$ について成り立つ。
  2. $ f$$ R$ の積を $ S$ の積にうつす。すなわち、

    $\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)
$

    が、すべての $ R$ の元 $ a,b$ について成り立つ。
  3. $ f$ は($ R$ の)単位元を($ S$ の)単位元にうつす。すなわち、

    $\displaystyle f(1_R)=1_S
$

    が成り立つ。

群(加法群)についての準同型の知識を使うと、次のことは直ちにわかる。

補題 6.1   環準同型 $ f:R\to S$ について、
  1. $ f(0_R)=f(0_S)$ が成り立つ。
  2. $ f(-a)=-f(a)$ が全ての $ a\in R$ に対して成り立つ。

つぎに、準同型定理の説明にはいる。

定義 6.2   環準同型 $ f:R\to S$ について、 $ f^{-1}(0)(=\{r\in R; f(r)=0\})$ のことを、 $ f$ の核(Kernel)と呼び、 $ \operatorname{Ker}(f)$ で書き表す。

$ f$ の像(Image)とは、通常通り、

$\displaystyle \{f(r); r\in R\}
$

のことである。

補題 6.2   任意の環準同型 $ f:R\to S$ にたいして、
  1. $ \operatorname{Ker}(f)$$ R$ のイデアルである。
  2. $ \operatorname{Image}(f)$$ S$ の部分環である。

定理 6.1   環準同型 $ f:R\to S$ について、 $ R$ の同値関係 $ \sim_f$

$\displaystyle x \sim_f y \ {\Leftrightarrow}\ f(x)=f(y)
$

で定義し、また $ r\in R$ $ R/\operatorname{Ker}(f)$ でのクラスを $ \bar{r}$ とすると、 次のことが成り立つ。
  1. $ x,y\in R$ にたいして、

    $\displaystyle x \sim_f y {\Leftrightarrow}\bar{x}=\bar{y}
$

    が成り立つ
  2. $ f$

    % latex2html id marker 1057
$\displaystyle R/\operatorname{Ker}(f) \ni \bar{r} \mapsto f(r)\in \operatorname{Image}(f) \qquad (r\in R)
$

    なる全単射準同型を誘導する。

定義 6.3   環のあいだの全単射準同型のことを、同型とよぶ。 容易にわかるように、 環のあいだの同型 $ f:R\to S$ が与えられたとき、 $ f$ の逆写像 $ f^{-1}$$ S$ から $ R$ への 同型になる。

※レポート問題

つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限:次の講義の終了時まで。)

(I).
環の準同型 $ f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni [a]_{15} \mapsto [a]_5\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ($ [?]_n$$ ?$ $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ におけるクラス) を考える。(本当は、$ f$ がうまく定義されていること、 さらに $ f$ が実際に環の準同型であることを 諸君が証明すべきだが、ここではそれは要求しない。) このとき、
  1. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元 $ x$ 15個のそれぞれについて、$ f(x)$ を書きなさい。
  2. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元 $ y$ 5個のそれぞれについて、 $ f^{-1}(y)$ を書きなさい。

(II).
$ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/11{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni [n]_{11}\mapsto [n]_5 \in{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ はうまく定義されて、 環準同型になるだろうか。

(III).
正の整数 $ k,l$ が 与えられたとき、$ k,l$ にどのような関係があれば、 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/k{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni [n]_{k}\mapsto [n]_l \in{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/l {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ はうまく定義されて、 環準同型になるのか、答えなさい。


next up previous
: この文書について...
平成17年11月21日