代数学 I NO.7 要約

今日のテーマ《環の準同型定理の利用法》

例 7.1 (準同型定理の基本例 1). ℤ/100ℤ から ℤ/10ℤ への写像 f を、

f([n]_{100}) = [n]_{10} ([?]_{n} は ℤ/nℤ における ? の同値類)

で定めると、次のことが分かる。

(1) f は写像としてうまく定義されている。すなわち、 f の定義は代表元のとり方によらない。

(2) f は環の準同型である。

(3) f の像は ℤ/10ℤ 全体である。

(4) f の核は 10ℤ/100ℤ である。よって、準同型定理により、

(ℤ/100ℤ)/(10ℤ/100ℤ) ≅ ℤ/10ℤ

が結論される。

例 7.2. 環としての同型 ℝ[X]/(X^{2} + 1)ℝ[X] ≅ ℂ が存在する。 ℝ[X] から ℂ への写像 f を、

f(p) = p(\sqrt{−1})

で定めると、次のことが分かる。 (1) f は写像としてうまく定義されている。

(2) f は環の準同型である。

(3) f の像は ℂ 全体である。

(4) f の核は (X^{2} + 1)ℝ[X] である。よって、準同型定理により、

ℝ[X]/(X^{2} + 1)ℝ[X] ≅ ℂ

が結論される。

例 7.3 (準同型定理の応用例１). ℤ[X] から ℤ[\sqrt{14}] への写像 f を、

f(p) = p(\sqrt{14})

で定めると、次のことが分かる。

(1) f は写像としてうまく定義されている。すなわち、 f の像は ℤ[\sqrt{14}] からはみ出さない。

(2) f は環の準同型である。

(3) f の像は ℤ[\sqrt{14}] 全体である。

(4) f の核は (X^{2} − 14)ℤ[X] である。よって、準同型定理により、

ℤ[X]/(X^{2} − 14)ℤ[X] ≅ ℤ[\sqrt{14}]

が結論される。

例 7.4 (準同型定理の応用例２). A ∈ M_{2}(ℂ) を、

A = (\begin{matrix}1 & 3 \\ 5 & 7 \end{matrix})

で定め、 ℂ[X] から M_{2}(ℂ) への写像 f を、

f(p) = p(A)

で定めると、次のことが分かる。 (1) f は環の準同型である。

(2) f の像は

ℂ[A] = ℂA+ℂE = \{kA+lE; k, l ∈ ℂ\} = \{(\begin{matrix}k + l & 3k \\ 5k & 7k + l \end{matrix}); k, l ∈ ℂ\}

である。

(3) f の核は (X^{2} − 8X − 8)ℂ[X] である。よって、準同型定理により、

ℂ[X]/(X^{2} − 8X − 8)ℂ[X] ≅ ℂ[A](= ℂA + ℂE)

が結論される。

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) 環としての同型 ℝ[X]/(X^{2} + 1)ℝ[X] ≅ ℂ が存在することを示

しなさい。 (II)

A = (\begin{matrix}7 & 4 \\ −5 & −2 \end{matrix})

と置くとき、

(a) ℂ[A] ≅ ℂ[X]/(X^{2}−5X +6)ℂ[X] であることを示しなさい。 (b) ℂ[X]/(X^{2} − 5X + 6)ℂ[X] の 0 でない零因子を一つあげな

さい。

(c) ℂ[A] の 0 でない零因子を一つあげなさい。