代数学 I NO.9 要約

今日のテーマ《ユークリッド環は単項イデアル環であること》前回、次の定理およびその周辺が残っていたので、今回はその解説

である。

定理 9.1. ユークリッド環は単項イデアル環である。

次回の準備のために、次のことも証明しておこう。

補題 9.1. 単項イデアル環 R のイデアルの増大列

I_{1} ⊂ I_{2} ⊂ I_{3} ⊂ I_{4} ⊂ …

は必ずどこかで止まる。すなわちある N があって、

I_{N} = I_{N+1} = I_{N+2} = …

がなりたつ。

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) ℤ のイデアルの減少列

I_{1} ⊋ I_{2} ⊋ I_{3} ⊋ I_{4} ⊋ …

の例をあげなさい。