代数学 I No.9要約

《ユークリッド環は単項イデアル環であること》

前回、次の定理およびその周辺が 残っていたので、今回はその解説である。

定理 9.1   ユークリッド環は単項イデアル環である。

次回の準備のために、次のことも証明しておこう。

補題 9.1   単項イデアル環 $R$ のイデアルの増大列

$$I_1 \subset I_2 \subset I_3 \subset I_4 \subset \dots$$

は必ずどこかで止まる。すなわちある $N$ があって、

$$I_N=I_{N+1}=I_{N+2}=\dots$$

がなりたつ。

※レポート問題

つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。)

(I).

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルの減少列

$$I_1 \supsetneq I_2 \supsetneq I_3 \supsetneq I_4 \supsetneq \dots$$

の例をあげなさい。