代数学 I NO.11 要約

今日のテーマ《剰余環、準同型定理の復習》環 R = ℤ[X]/(X^{2} − 3) において、 X ∈ ℤ[X] の R でのクラスを [X]

と書くと、 [X]^{2} − 3 = 0. すなわち、 [X] は 3 の平方根の役割を果たす。このことをまとめたのが、次の補題である。

補題 11.1.

ℤ[X]/(X^{2} − 3) ≅ ℤ[\sqrt{3}]

同様に、

補題 11.2.

ℤ[X]/(X − 3) ≅ ℤ

が成り立つ。これらの補題の証明には、準同型定理を使うのが便利である。

補題 11.3. R = ℂ[X]/(X^{10}) において、 X のクラスを a とおくと、 a^{10} = 0 が成り立つ。とくに、 R において 1 + a は可逆であり、その逆元は

1 + a + a^{2} + ⋯ + a^{9}

である。

補題 11.4. R = ℤ[X]/(X^{2} − 4X + 2) において、 X のクラスを a とおくと、 a^{2} − 4a + 2 = 0 が成り立つ。このことから、 R ≅ ℤ[\sqrt{2}] がわかる。

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) R = ℚ[X]/(X^{2} + X + 1) において、元 X の R でのクラスを a と書いたとき、 a の満足する方程式をみつけて、

R ≅ ℚ[\sqrt{−3}]

であることを証明しなさい。