代数学 I No.11要約

《剰余環、準同型定理の復習》

環 $R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]/(X^2-3)$ において、 $X\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ の $R$ でのクラスを $[X]$ と書くと、$[X]^2-3=0$. すなわち、 $[X]$ は $3$ の平方根の役割を果たす。

このことをまとめたのが、次の補題である。

補題 11.1  

$${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]/(X^2-3)\cong {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{3}]$$

同様に、

補題 11.2  

$${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]/(X-3)\cong {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$

が成り立つ。これらの補題の証明には、準同型定理を使うのが便利である。

補題 11.3   $R={\mathbb{C}}[X]/(X^{10})$ において、$X$ のクラスを $a$ とおくと、 $a^{10}=0$ が成り立つ。とくに、$R$ において $1+a$ は可逆であり、 その逆元は

$$1+a+a^2+\dots+a^9$$

である。

補題 11.4   $R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]/(X^2-4X+2)$ において、$X$ のクラスを $a$ とおくと、 $a^2-4 a+2=0$ が成り立つ。このことから、 $R\cong {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{2}]$ がわかる。

※レポート問題

つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。)

(I).

$R=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]/(X^2+X+1)$ において、元 $X$ の $R$ でのクラスを $a$ と書いたとき、$a$ の満足する方程式をみつけて、

$$R \cong$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$[\sqrt{-3}]$$

であることを証明しなさい。