代数学 演習 C (コア) 問題 No.2

群を取り扱うときには、群の定義 (0),(1),(2),(3) に戻って考えよう。

(i).

基本的には、普通の掛け算(あるいは、足し算)をやっていると思ってよい。

(ii).

積は、可換とは限らない。

(iii).

一般には、群の演算以外を用いてはならない。

問題 2.1   群 $G$ の元 $x$ と、自然数 $n$ について、 $x$ の $n$ 個の積 $xx\dots x$ を $x^n$ と書き、 $(x^n)^{-1}$ ($x^n$ の逆元) を $x^{-n}$ と書きます。 任意の整数 $a,b$ について、

$$x^a x^b=x ^{a+b}, (x^a)^b =x^{ab}$$

が成り立つことを示しなさい。

問題 2.2   集合 $G$ に演算 $\cdot$ が定義され、この演算は結合法則を満たすとします。 さらに、$G$ の任意の元 $a,b$ について、 $a\cdot x=b, y\cdot a=b$ となる $x,y\in G$ が存在したとします。 (一意性は仮定しない。)この時 $G$ は群となることを示しなさい。

問題 2.3   群の元 $a,b$ に対して、

$$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$$

が成り立つことを示しなさい。 $(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$ は いつでも正しいといえますか？ (こういう問題では、正しい時には証明を、正しくない時には具体的な例を あげることを要求しています。)

問題 2.4   有限個の元を持つ群 $G$ について、そのどの元 $a$ についても、$a^n=e$ ($e$ は単位元)となる自然数 $n$ が存在する事を示しなさい。

問題 2.5   群 $G$ の任意の元 $a$ が、、$a^2=e$ ($e$ は $G$ の単位元) となるとすると、$G$ は実は可換群であることを示しなさい。

問題 2.6   一般に、群の元 $a,b$ について、

$$ab^{-1}=b^{-1}a$$

は正しいといえますか？

問題 2.7   群 $G$ の元 $a,b,c,d,f,g,h,k,l$ について、次の元をできるだけ簡単に表しなさい。

$$(abcd)^{-1} abc (h^{-1}g)^{-1}(fh)^{-1}klk^{-1}$$

問題 2.8   群 $G$ の二つの元 $a,b$ が、関係 $ba=a^3b$ を満たすとき、 $ba^5=a^{15}b$ が成り立 つことを示しなさい。

問題 2.9   群 $G$ の二つの元 $a,b$ が次のような関係式を満た すとします。

$$a^{60}=e, b^4=e, \quad a b=b a^{20}$$

このとき、$a^3=e$ であることを示しなさい。

問題 2.10   群 $G$ の元 $a$ が $a^{15}=e, a^{25}=e$ をみたすとき、 $a^5=e$ であることを示しなさい。

問題 2.11   群 $G$ の二つの元 $a,b$ が次のような関係式を満た すとします。

$$a^{60}=e, b^4=e, \quad a b=b a^{20}$$

このとき、$a^3=e$ であることを示しなさい。

問題 2.12   群 $G$ の二つの元 $a,b$ が次のような関係式を満た すとします。

$$a^{60}=e, \quad a b=b a^{2}$$

このとき、$a^{15}=e$ であることを示しなさい。

問題 2.13 (線型代数の復習)  

1. 複素数全体のなす集合 ${\mathbb{C}}$ は、実数体 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上の線型空間であることを示しなさい。 更に、 ${\mathbb{C}}$ の $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上の基底を一つ挙げなさい。
2. $x=a+bi \in {\mathbb{C}}\quad (a,b\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ を固定したとき、

   $$L_x: {\mathbb{C}} \to {\mathbb{C}}$$

   $$\cup \!\! \!\! \shortmid \cup \!\! \!\! \shortmid$$

   $$z \mapsto xz$$

   
   
   で $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ -線型写像 $L_x$ を定義できることを確かめなさい。
3. (1) の基底を使って $L_x$ を行列で表現しなさい。

問題 2.14 (複素数の問題)   一般に、複素数 $z=a+bi$ に対して、平面上の点 $(a,b)$ を対応させることができます。このとき、二つの複素数 $z,w$ と、

1. 和 $z+w$
2. 積 $zw$

との位置関係が幾何学的にどうなっているかを述べなさい。

(ヒント：(１)平行四辺形の法則。(２) $z=r(\cos (\psi) +i\sin(\psi)), w=R(\cos (\phi) +i\sin(\phi))$ とおいてみなさい。(極座標表示))

問題 2.15 (線型代数の復習)   $A$ を 複素係数の$n\times n$ -行列とします。このとき、

$$A^N+ c_{N-1} A^{N-1}+c_{N-2}A^{N-2} +\dots +c_1 A+c_0 E=0$$

($E$ は単位行列)

となる自然数 $N$ と、複素数 $c_{N-1}, c_{N-2}, \dots, c_0$ が存在することを示しなさい。 (ヒント、 $M_n({\mathbb{C}})$ が有限次元であることに注意しなさい。)

問題 2.16   実数 $\theta$ を一つ固定する。 二次正方行列 $A,B$ を、

$$A= \begin{pmatrix} \cos(\theta) &-\sin(\theta)\\ \sin(\theta) &\cos(\theta) \end{pmatrix}, B= \begin{pmatrix} 1 &0\\ 0 &-1 \end{pmatrix}$$

で定める。このとき、 $AB=BA^{-1}$ が成り立つことを示し、 さらにそれを用いて $A^kB=BA^{-k}$ が成り立つことを示せ。