代数学 C(コア) 演習問題 NO.3

今日のテーマ部分群 \underline{群の部分群とは、部分集合であって群になっているもののことです。} ただし、部分群の掛け算はもとの群の掛け算と一致しなければなりません。部分群の正確な定義は次のようになります。

定義 3.1 (部分群の定義). 群 (G, m) が与えられているとします。 G の部分集合 H が G の部分群であるとは、次の条件を満たすときに言います。

(0) 掛け算 m : G × G → G を H × H に制限すると、これは H に値を持つ。すなわち、次のような写像が誘導される。

m : H × H → H

(1) (H, m) は群である。

条件 (0) は次のように言い換えても良い。 (0′) h, k を H から任意に取ってくると、いつでも m(h, k) は H の元である。

問題 3.1. 次の集合は整数の加法群 (ℤ, +) の部分群をなしますか? 理由をつけて答えなさい。

(1) (1/2)ℤ={0, 1/2, −1/2, 1, −1, 3/2, −3/2, … }.

(2) {±1}.

(3) 0 以上の整数の集合 ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …, }.

(4) 7 で割って 1 余る整数全体の集合 7ℤ + 1.

(5) 4 で割り切れる整数全体の集合 4ℤ.

問題 3.2 (部分群の定義). (10 点) 次の集合は\underline{有理数}全体のなす加法群 (ℚ,+) の部分群をなしますか? 理由をつけて答えなさい。

(1) (1/2)ℤ={0, 1/2, −1/2, 1, −1, 3/2, −3/2, … }.

(2) 実数全体の集合 ℝ.

(3) 7 で割って 1 余る整数全体の集合 7ℤ + 1.

(4) 0 以外の有理数全体が通常の掛け算についてなす群 (ℚ^{×}, ×).

問題 3.3. (ℤ, +) の部分群 H が 6 を元として含めば、 (1) 12 も H の元であることを示しなさい。

(2) 108 も H の元であることを示しなさい。

(3) −216 も H の元であることを示しなさい。

(4) 6 の倍数全体 6ℤ は H の部分集合であることを示しなさい。

問題 3.4. (ℤ, +) の部分群 H が 200 と 55 を元として含むということを知っていたとします。このとき。

(1) 55 × 3(= 165) も H の元であることを示しなさい。

(2) 200 − 165(= 35) も H の元であることを示しなさい。

(3) H に確実にはいっているといえる正の整数のうち、最小のものは何ですか？

問題 3.5. 0 以外の有理数のなす乗法群 (ℚ^{×}, ×) の部分群 H が 2 を元として含んでいたとします。このとき、「H の正の元のうち最小のもの」は\underline{存在しない}ことを示しなさい。

問題 3.6. 整数全体のなす加法群 G = (ℤ, +) を考えます。 (1) 整数 n を一つ決めると、 G の部分集合 nℤ が、

nℤ = {nm; m ∈ ℤ}

によって決まりますが、これは G の部分群であることを示しなさい。

(2) 逆に、 G の部分群 H は必ず (1) の形で書けることを示しなさい。 (ヒント： H の元のうち、正で、最小なものを n としてみなさい。 )

問題 3.7. 実数を成分にもつ 2 次の正則行列の全体は掛け算に関して群をなします。 (証明不要) これを普通 GL_{2}(ℝ) と書きます。さて、

A = (\begin{matrix}5 & 3 \\ −7 & −4 \end{matrix})

を含む GL_{2}(ℝ) の部分群で、 GL_{2}(ℝ) 自身とは異なるものの例を一つあげなさい。

つぎの諸問題は本に載っているかも知れないけれども、それを丸うつしにしても点数は与えません。今回の冒頭に述べた定義 3.1 から出発して以下のの事実が\underline{論理的な飛躍なしに}説明できるかどうかがポイントです。

問題 3.8.

(1) H と K が、ともに群 G の部分群であれば、 H ∩ K も G の部分群となることを示しなさい。

(2) ℤ の部分群 H, K で、 H ∪ K が ℤ の部分群にならない例を一つあげなさい。

問題 3.9. ℤ の部分群 H = mℤ と K = nℤ との共通部分 H ∩ K を求めなさい。

問題 3.10. H が群 G の部分群であれば、 G のどの元 t についても、 tHt^{−1} は G の部分群となることを示しなさい。

問題 3.11. 群 G の部分群 H, K について、集合 HK も部分群となるための必要十分条件は、 KH = HK が成立することである事を示しなさい。