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代数学 C(コア) 演習問題 No.3

\fbox{今日のテーマ} 部分群

群の部分群とは、部分集合であって群になっているもののことです。

ただし、部分群の掛け算はもとの群の掛け算と一致しなければなりません。 部分群の正確な定義は次のようになります。

定義 3.1 (部分群の定義)  

$ (G,m)$ が与えられているとします。 $ G$ の部分集合 $ H$$ G$ の部分群であるとは 、次の条件を満たすときに言います。

(0)掛け算 $ m:G\times G\to G$$ H\times H$ に制限すると、 これは $ H$ に値を持つ。すなわち、次のような写像が誘導される。

$\displaystyle m:H\times H \to H
$

(1) $ (H,m)$ は 群である。

条件 (0) は次のように言い換えても良い。

(0$ '$ ) $ h,k$$ H$ から任意に取ってくると、 いつでも $ m(h,k)$$ H$ の元である。

問題 3.1   次の集合は整数の加法群 $ ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ の部分群をなしますか? 理由をつけて答えなさい。
  1. $ (1/2){\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ = $ \{0,1/2,-1/2,1,-1,3/2,-3/2,\dots\}$ .
  2. $ \{\pm 1 \}$ .
  3. 0 以上の整数の集合 $ \mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,\dots,\}$ .
  4. $ 7$ で割って $ 1$ 余る整数全体の集合 $ 7{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+1$ .
  5. $ 4$ で割り切れる整数全体の集合 $ 4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .

問題 3.2 (10点)   次の集合は有理数全体のなす加法群 ( $ {\mathbb{Q}}$ ,+) の部分群をなしますか? 理由をつけて答えなさい。
  1. $ (1/2){\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ = $ \{0,1/2,-1/2,1,-1,3/2,-3/2,\dots\}$ .
  2. 実数全体の集合 $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ .
  3. $ 7$ で割って $ 1$ 余る整数全体の集合 $ 7{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+1$ .
  4. 0 以外の有理数全体が通常の掛け算についてなす群 $ ($$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ ^{\times},\times)$ .

問題 3.3   $ ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ の部分群 $ H$$ 6$ を元として含めば、
  1. $ 12$$ H$ の元であることを示しなさい。
  2. $ 108$$ H$ の元であることを示しなさい。
  3. $ -216$$ H$ の元であることを示しなさい。
  4. $ 6$ の倍数全体 $ 6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$ H$ の部分集合であることを示しなさい。

問題 3.4   $ ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ の部分群 $ H$$ 200$$ 55$ を元として含むということを 知っていたとします。このとき。
  1. $ 55\times 3(=165)$$ H$ の元であることを示しなさい。
  2. $ 200-165(=35)$$ H$ の元であることを示しなさい。
  3. $ H$ に確実にはいっているといえる 正の整数のうち、最小のものは何ですか?

問題 3.5   0 以外の有理数のなす乗法群 $ ($$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ ^{\times},\times)$ の部分群 $ H$$ 2$ を元として含んでいたとします。このとき、「$ H$ の正の元のうち最小のもの」は 存在しないことを示しなさい。

問題 3.6   整数全体のなす加法群 $ G=({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ を考えます。
  1. 整数 $ n$ を一つ決めると、$ G$ の部分集合 $ n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ が、

    $\displaystyle n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}= \{n m; m\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}
$

    によって決まりますが、これは $ G$ の部分群であることを示しなさい。
  2. 逆に、$ G$ の部分群 $ H$ は必ず (1) の形で書けることを示しなさい。 (ヒント:$ H$ の元のうち、正で、最小なものを $ n$ としてみなさい。)

問題 3.7   実数を成分にもつ2次の正則行列の全体は掛け算に関して群をなします。 (証明不要) これを普通 $ {\operatorname{GL}}_2($$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ )$ と書きます。さて、

$\displaystyle A=
\begin{pmatrix}
5 & 3 \\
-7 & -4
\end{pmatrix}$

を含む $ {\operatorname{GL}}_2($$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ )$ の部分群で、 $ {\operatorname{GL}}_2($$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ )$ 自身とは異なるものの例を 一つあげなさい。

つぎの諸問題は本に載っているかも知れないけれども、 それを丸うつしにしても点数は与えません。 今回の冒頭に述べた定義3.1から出発して以下のの事実が 論理的な飛躍なしに 説明できるかどうかがポイントです。

問題 3.8  

  1. $ H$$ K$ が、ともに群 $ G$ の部分群であれば、 $ H\cap K$$ G$ の部分群となることを示しなさい。
  2. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の部分群 $ H,K $ で、$ H\cup K$ $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の部分群に ならない例を一つあげなさい。

問題 3.9   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の部分群 $ H=m{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ $ K=n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ との共通部分 $ H\cap K$ を求めなさい。

問題 3.10   $ H$ が群 $ G$ の部分群であれば、$ G$ のどの元 $ t$ についても、 $ tHt^{-1}$$ G$ の部分群となることを示しなさい。

問題 3.11   群 $ G$ の部分群 $ H,K $ について、集合 $ HK$ も部分群となるための必要十分条件は、 $ KH=HK$ が成立することである事を示しなさい。


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2006-04-25