代数学 C(コア) 演習問題 NO.5

今日のテーマ《生成される部分群》群 G と、その部分集合 M とが与えられているとします。このとき、

• \underline{M で生成される G の部分群とは、 M を含む最小の部分群のことです。} • 特に、 G 自身が M で生成される G の部分群であるとき、単に、「G は M で生成される。」といいます。

• 一つの元で生成される群を巡回群といいます。《生成される部分群》の正確な定義は次のようになります。

定義 5.1 ( 《生成される部分群》の定義). 群 G とその部分集合 M とが与えられているとします。 G の部分群 H が M で生成される G の部分群である (記号では H = ⟨M⟩ と書く) とは、次の条件を満たすときに言います。

(0) H は M を部分集合として含む G の部分群である。

(1) H は上の条件 (0) を満たすもののうち最小のものである。すなわち、次のことが成り立つ。 K が、 M を部分集合として含む G の部分集合であれば、 H は K の部分群になる。

問題 5.1. 整数の加法群 (ℤ, +) は {1} によって生成されることを示しなさい。

問題 5.2. (ℤ, +) の部分群 H で、 {7} によって生成されるものを見つけなさい。

問題 5.3. (ℤ, +) の部分集合 M = {−28, 49, 105} で生成される ℤ の部分群を求めなさい。

問題 5.4. 有理数体 ℚ 上の一般線型群 GL(2; ℚ) (即ち、行列式 ≠ 0 となる 2 × 2-行列全体) の部分集合

H = \{(\begin{matrix}1 & n \\ 0 & 1 \end{matrix}); n ∈ ℤ\}

は、 GL(2; ℚ) の部分群であって、ある行列 A により、 H = ⟨A⟩ となる (つまり H は A で生成される) ことを示しなさい。

問題 5.5. 0 以外の有理数全体のなす乗法群 (ℚ^{×}, ×) の部分群で、 {4} で生成されるものを求めなさい。

問題 5.6. 実数全体のなす加法群 (ℝ, +) の部分群で、 {1} で生成されるものを求めなさい。

問題 5.7. (ℤ, +) の部分群で、 105 と 27 で生成されるものを H とおきます。このとき、 H ∩ ℤ_{>0} = {x ∈ H; x > 0} の最小元を求めなさい。

問題 5.8. (ℝ, +) の部分群で、 \{2, \sqrt{5}\} で生成されるものを H と置きます。このとき、 H ∩ ℝ_{>0} = {x ∈ H; x > 0} には最小元がないことを示しなさい。

問題 5.9. GL_{2}(ℝ) のなかで、

A = (\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix})

で生成される群を求めなさい。

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問題 5.10. GL_{2}(ℝ) のなかで、

A = (\begin{matrix}10 & −3 \\ 37 & −11 \end{matrix})

で生成される群を求めなさい。問題 5.11.

A = (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) , B = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix})

と定義します。 GL_{2}(ℝ) の、 A, B で生成される部分群を求めなさい。問題 5.12. 整数の加法群 (ℤ, +) の部分群 H が、 m, n で生成されるとします。このとき、等式

H = {ma + nb; a, b ∈ ℤ}

が成り立つことを示しなさい。問題 5.13. 群 G の部分集合 M と G の元 g_{0} とがあって、任意の M の元 m に対し、

g_{0}mg_{0}^{−1} ∈ M

が成り立ったとすると、 M で生成される G の部分群 H = ⟨M⟩ の任意の元 h について

g_{0}hg_{0}^{−1} ∈ H

が成り立つことを示しなさい。