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代数学 C(コア) 演習問題 No.5

《生成される部分群》

群 $G$ と、その部分集合 $M$ とが与えられているとします。このとき、

$\bullet$ $M$ で生成される $G$ の部分群とは、 $M$ を含む最小の部分群のことです。

$\bullet$ 特に、$G$ 自身が $M$ で生成される $G$ の部分群であるとき、 単に、「$G$ は $M$ で生成される。」といいます。

$\bullet$ 一つの元で生成される群を巡回群といいます。

《生成される部分群》の正確な定義は次のようになります。

定義 5.1 (《生成される部分群》の定義)  

群 $G$ とその部分集合 $M$ とが与えられているとします。 $G$ の部分群 $H$ が $M$ で生成される $G$ の部分群である (記号では $H=\langle M \rangle$ と書く) とは、次の条件を満たすときに言います。

(0) $H$ は $M$ を部分集合として含む $G$ の部分群である。

(1) $H$ は上の条件 (0) を満たすもののうち最小のものである。 すなわち、次のことが成り立つ。

$K$ が、$M$ を部分集合として含む $G$ の部分集合であれば、 $H$ は $K$ の部分群になる。

問題 5.1   整数の加法群 $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ は $\{1\}$ によって生成されることを示しなさい。

問題 5.2   $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ の部分群 $H$ で、$\{7\}$ によって生成されるものを 見つけなさい。

問題 5.3   $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ の部分集合 $M=\{-28, 49, 105\}$ で生成される ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の部分群を求めなさい。

問題 5.4   有理数体 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上の一般線型群 ${\operatorname{GL}}(2;$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$)$ (即ち、行列式 $\neq 0$ となる $2\times2$ -行列全体)の部分集合

$$H= \left\{ \begin{pmatrix} 1 &n \\ 0 &1 \end{pmatrix}; n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}} \right \}$$

は、 ${\operatorname{GL}}(2;$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$)$ の部分群であって、 ある行列 $A$ により、 $H=\langle A \rangle$ と なる(つまり $H$ は $A$ で生成される)ことを示しなさい。

問題 5.5   0 以外の有理数全体のなす乗法群 $($$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$^{\times},\times)$ の部分群で、$\{4\}$ で生成されるものを求めなさい。

問題 5.6   実数全体のなす加法群 $($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$,+)$ の部分群で、$\{1\}$ で生成されるものを 求めなさい。

問題 5.7   $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ の部分群で、$105$ と $27$ で生成されるものを $H$ とおきます。 このとき、 $H\cap {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}=\{x\in H; x>0\}$ の最小元を求めなさい。

問題 5.8   $($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$,+)$ の部分群で、 $\{2,\sqrt{5}\}$ で生成されるものを $H$ と置きます。 このとき、 $H\cap$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0}=\{x\in H; x>0\}$ には最小元がないことを示しなさい。

問題 5.9   ${\operatorname{GL}}_2($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ のなかで、

$$A= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$

で生成される群を求めなさい。

問題 5.10   ${\operatorname{GL}}_2($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ のなかで、

$$A= \begin{pmatrix} 10 & -3 \\ 37 & -11 \end{pmatrix}$$

で生成される群を求めなさい。

問題 5.11  

$$A= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

と定義します。 ${\operatorname{GL}}_2($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ の、$A,B$ で生成される部分群を求めなさい。

問題 5.12   整数の加法群 $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ の部分群 $H$ が、${m,n}$ で生成されるとします。 このとき、等式

$$H=\{ma+nb; a,b \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$$

が成り立つことを示しなさい。

問題 5.13   群 $G$ の部分集合 $M$ と$G$ の元 $g_0$ とがあって、任意の $M$ の元 $m$ に対し、

$$g_0 mg_0^{-1} \in M$$

が成り立ったとすると、$M$ で生成される $G$ の部分群 $H=\langle M \rangle$ の任意の元 $h$ について

$$g_0 hg_0^{-1}\in H$$

が成り立つことを示しなさい。