代数学 C 演習問題 No.10

次回は、一学期の目標である《群の準同型定理》について 出題することになります。今回はその前段階として、 《群の準同型定理》の元になるアイディアについて出題します。 今回の問題では、「群」は出て来ません。集合と写像の 性質を使うだけです。問題6.12が基本になります。

集合をクラス分けする時には「集合の集合」が現れることになります。 次の問題でまず《集合》の捉え方を確認してください。 とくに、中括弧 $\{\}$ の使い方をおろそかにしないようにして頂きたい。

問題 10.1   次の集合 $A,B,C,D,E$ の要素の個数をそれぞれ求めなさい。

1. $A=\{\{1,2,3\}\}$
2. $B=\{\{1,2\},\{3\}\}$
3. $C=\{\{1,2\},\{3,\{4,5\}\}\}$
4. $D=\{ 1,1\}$
5. $E=\{\{$$x$; $x&isin#in;$Z$$ ; $x-r$ は $4$ で割り切れる。$\}; r\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$

問題 10.2   $H=($ひらがなの全体$)=\{$あ,い,う.$...$,わ,ゐ,ゑ,を$\}$ , $A=($英語のアルファベットの大文字全体$)=\{A,B,C,\dots,Z\}$ とおきます。 このとき、 次の問いに答えなさい。

1. $f:H\to A$ を、 $f(x)=($xをローマ字で書いた時の終りの文字$)$ で 定義します。$f$ の像を求めなさい。
2. 上の $f$ によって、$H$ 上に関係 $\equiv$ を、
   $$h_1 \equiv h_2 \ {\Leftrightarrow}\ f(h_1)=f(h_2)$$
   で定めると、これは同値関係になります。 この同値関係で「た」と同値になるものを全て答えなさい。
3. 上の同値関係は、「五十音表」と言う言葉を使うとどのように 表現できるか、答えなさい。
4. $H/\equiv$ の元の個数を求めなさい。
5. $g:H\to A$ を、 $f(x)=($$x$ をローマ字で書いた時の始めの文字$)$ で 定義しようとする時の問題点を挙げなさい。

問題 10.3   $C_n=\langle a; a^n=e\rangle$ を、位数 $n$ の有限巡回群 とします。 $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to C_n$ を、

$$f(k)=a^k$$

とおくとき、次の問いに答えなさい。

1. $f$ により ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 上に関係 $\equiv$ を、
   $$n_1 \equiv n_2 \ {\Leftrightarrow}\ f(n_1)=f(n_2)$$
   で定めると、これは同値関係になります。 この同値関係によって $1$ と同値なものを全て挙げなさい。 (もちろん「列挙」する必要は無い。)
2. 上の同値関係によって 0 と同値なものを全て挙げなさい。
3. 1. に挙げたものと 2. に挙げたものとの間の関係を述べなさい。
4. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\equiv$ の元の個数を求めなさい。

問題 10.4   $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to \frak S_4$ を,

$$f(k)=(1\ 2\ 3\ 4)^k\quad (k \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$$

で定義します。このとき、

1. $f(0),f(-1),f(-2)$ を求めなさい。
2. $f$ の像を求め、その元の個数を言いなさい。
3. $f$ により ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ に関係 $\equiv$ を、
   $$a\equiv b \ {\Leftrightarrow}\ f(a)=f(b)$$
   により定めると、この関係は同値関係になります。。 この同値関係により $1$ と同値なものを全て挙げなさい。
4. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\equiv$ の元の個数を求めなさい。
5. 本問に現れた同値関係と前問の同値関係との関係を述べなさい。

問題 10.5   $C_{10}=\langle g; g^{10}=e \rangle ,C_4=\langle h; h^4=e \rangle$ とおき、 $f:C_{10}\to C_4$ を、 $f(g^k)=h^{2k} (k\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$ で定義します。 すなわち、

$$f(g)=h^2 ,f(g^2)=h^4 (=e) ,f(g^3)=h^6 (=h^2),\dots.$$

($f$ はうまく定義されています。 すなわち、《$g^k=g^l$ なら $h^{2k}=h^{2l}$ 》 が成り立ちます。 なぜですか？) さらに、$C_{10}$ に関係 $\equiv$ を $a\equiv b \ {\Leftrightarrow}\ f(a)=f(b)$ で定義します(これは同値関係になります)。 このとき $C_{10}$ は $\equiv$ により どのようにクラス分けされるかをクラス分けの表をつくって示し、 $C_{10}/\equiv$ の元の個数を求めなさい。さらに、$f$ の像も求めなさい。

問題 10.6   写像 $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ を、 $f(x)=(\cos(x),\sin(x))$ で定義します。このとき、 次の問いに答えなさい。

1. $f$ のグラフの概形を書きなさい。(答えは $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^3$ の中の曲線になるはずです。)
2. $f$ の像を求めなさい。
3. $f$ により、 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に関係 $\equiv$ を、 $a\equiv b \ {\Leftrightarrow}\ f(a)=f(b)$ で定義すると、これは同値関係になります。 この同値関係について、一つの点に同値な点の全体グラフでどのような位置に くるか、答えなさい。

問題 10.7   写像 $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to \mbox{${\mathbb{R}}$}^2$ を、 $f(x)=(\cos(\frac{\pi x}{5}),\sin(\frac{\pi x}{5}))$ で定義します。このとき、 次の問いに答えなさい。

1. $f$ のグラフの概形を書きなさい。
2. $f$ の像を求めなさい。
3. $f$ により、 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に同値関係を、 $a\equiv b \ {\Leftrightarrow}\ f(a)=f(b)$ で定義します。このとき、一つの点に同値な点の全体グラフでどのような位置に くるか、答えなさい。
4. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\equiv$ の元の個数を求めなさい。