代数学 C(コア) 演習問題 No.11

今回は、一学期の目標である《群の準同型定理》について 出題します。

問題 11.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/9{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $f$ を

$$f([n]_9)=[n]_3$$

で定めます。このとき、

1. $f$ は全射準同型写像であることを示しなさい。
2. $f$ によって ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/9{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の各元が ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のどの元にうつるか？ 対応表を書き上げることによって示しなさい。
3. $f$ によって同じもの同士を同じクラスにして ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/9{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ をクラス分けし、 クラス分けの表を書きなさい。
4. $\operatorname{Ker}f$ を求めなさい
5. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/9{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を $\operatorname{Ker}f$ を法としてクラス分けしなさい。

問題 11.2   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/8{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $f$ を

$$f([n]_8)=[3n]_6$$

で定めます。このとき、

1. $f$ は準同型写像であることを示しなさい。
2. $f$ の像を求めなさい。
3. $f$ によって ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/8{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の各元が ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のどの元にうつるか？ 対応表を書き上げることによって示しなさい。
4. $f$ によって同じもの同士を同じクラスにして ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/8{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ をクラス分し、 クラス分けの表を書きなさい。
5. $f$ の核を求めなさい
6. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/8{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を $\operatorname{Ker}f$ を法としてクラス分けしなさい。

問題 11.3   有限群 $G$ が一つの元 $g$ で生成されているとき、 $G$ は有限巡回群と同型であることを示しなさい。

問題 11.4   無限群 $G$ が一つの元 $g$ で生成されているとき、$G$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ と同型であること を示しなさい。

問題 11.5  

1. $20{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は $4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の正規部分群であることを示しなさい。
2. 写像 $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を、 $f(x)=[x]_5$ で定義すると、 $f$ は準同型写像になることを示しなさい。
3. 上の $f$ の核を求め、 $4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/20{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ が ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ と同型であることを 示しなさい。

問題 11.6   $m,n$ はそれぞれ正の整数であるとします。 この時、 $m{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/mn{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ と同型であることを示しなさい。

問題 11.7   複素数 $z$ に対して、その共役を $\bar {z}$ であらわします。このとき、

1. ${\mathbb{C}}\ni z\mapsto \bar{z} \in {\mathbb{C}}$ は複素数全体のなす加法群 $({\mathbb{C}},+)$ からそれ 自身への同型写像を与えることを示しなさい。
2. ${\mathbb{C}}^{\times}\ni z\mapsto \bar{z} \in {\mathbb{C}}^{\times}$ は複素数全体から 0 を 除いたもののなす乗法群 $({\mathbb{C}}^{\times},\times)$ からそれ自身への同型写像を与えるこ とを示しなさい。

問題 11.8   複素数を成分に持つ行列 $A=(a_{ij})$ に対して、その随伴行列 $A^*$ を、

$$A^*=(\bar{a_{ji}})$$

で定義します。(すなわち、$A^*$ は、$A$ の転置行列 ${}^{\text{t}}A$ の各行列成分 についておのおのの複素共役をとったものです。) 例えば、

$$\begin{pmatrix} 1 &4+5i \\ 2+3i &6+7i \end{pmatrix}^*= \begin{pmatrix} 1 & 2-3i \\ 4-5i &6-7i \end{pmatrix}$$

と言う具合です。この時、

1. 複素数を成分に持つ $n$ -次正方行列 (=$n\times n$ -行列)全体を $M_n({\mathbb{C}})$ と書 けば、 $M_n({\mathbb{C}}) \ni A\mapsto A^*\in M_n({\mathbb{C}})$ は行列の加法群 $(M_n({\mathbb{C}}),+)$ からそれ自体 への同型写像であることを示しなさい。
2. 複素数を成分に持つ可逆 $n$ -次正方行列 (=$n\times n$ -行列)全体を ${\operatorname{GL}}_n({\mathbb{C}})$ と書けば、 ${\operatorname{GL}}_n({\mathbb{C}}) \ni A\mapsto (A^*)^{-1}\in {\operatorname{GL}}_n({\mathbb{C}})$ は可逆行列全体のなす乗法群 $({\operatorname{GL}}_n({\mathbb{C}}),\times)$ (一般線型群と呼ばれる)からそれ自体への同型写像であることを 示しなさい。

問題 11.9   複素数を成分に持つ正方行列 $A$ がユニタリ行列であるとは、 $A^*A=I$    (単位行 列) が成り立つ時に言います。さて、ユニタリ行列全体 $\operatorname{U}(n)$ は乗法に関して群を なすことを示しなさい。( $\operatorname{U}(n)$ はユニタリ群と呼ばれます。)

問題 11.10  

1. 写像
   $$\operatorname{det}: {\operatorname{GL}}_n({\mathbb{C}}) \ni A\mapsto \operatorname{det}(A) \in {\mathbb{C}}^{\times}$$
   は準同型であることを示しなさい。
2. $\operatorname{det}(A^*)=\overline{\operatorname{det}(A)}$ であることを示しなさい。
3. $A$ がユニタリ行列なら、 $\vert\operatorname{det}(A)\vert=1$ であることを示しなさい。

問題 11.11   $f,g$ はともに群 $G$ から 群 $H$ への準同型であるとします。 このとき、

$$K=\{x\in G; f(x)=g(x)\}$$

は $G$ の部分群であることを示しなさい。$K$ は $G$ の正規部分群とは 限らないことを、実例を挙げて示しなさい。

問題 11.12   同型

   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$/{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong \left\{ \begin{pmatrix} \cos(\thet... ...hantom{-}\cos(\theta) \end{pmatrix}; \theta \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \right\}$$

の存在を示しなさい。

問題 11.13   $f:G\to G'$ が群のあいだの準同型で、 $G$ の正規部分群 $N$ が、 $f(N)=\{e'\}$ ($e'$ は $G'$ の単位元) を満たすならば、 準同型 $g:G/N\to G'$ が存在して、$f=g\iota$ を満たすことを示しなさい。 ただし、ここで、 $\iota:G\to G/N$ は自然な準同型のこととします。

問題 11.14   $T=\{z\in {\mathbb{C}}; \vert z\vert=1\}$ は ${\mathbb{C}}^\times$ の正規部分群となり、剰余群 ${\mathbb{C}}/T$ は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^\times$ と同型であるということを示しなさい。