代数学 C(コア) 演習問題 NO.12

群の直積編

定義 12.1. 二つの群 G, K の直積とは、直積集合 G × K (G の元と K の元のペア (g, k) 全体のなす集合) に、乗法を

(g_{1}, k_{1}) · (g_{2}, k_{2}) = (g_{1}g_{2}, k_{1}k_{2})

で定義したものです。

問題 12.1. 群の直積 G × K は上の乗法によって群になることを示しなさい。

問題 12.2. (0.5 点) ℤ/3ℤ × ℤ/4ℤ について考えてみましょう。これは、右手で三角形、左手で四角形を書く (タクトをふる) 問題と関連付けることができます。

([1]_{3}, [0]_{4}) ↔ 右手を左回りに一回動かす
([0]_{3}, [1]_{4}) ↔ 左手を左回りに一回動かす

さて、 ([1]_{3}, [1]_{4}) の位数は 12 であることを実際にやってみなさい。

問題 12.3. 写像 f : ℤ → (ℤ/3ℤ × ℤ/4ℤ) を、

n → ([n]_{3}, [n]_{4})

で定義します。この時、 (1) f は準同型であることを示しなさい。

(2) f の核は 12ℤ であることを示しなさい。

(3) ℤ/12ℤ と ℤ/3ℤ × ℤ/4ℤ との元の個数を比較して、両者が同型であることを示しなさい。

問題 12.4. m, n を互いに素な正の整数とするとき、同型ℤ/mℤ×ℤ/nℤ ≅ ℤ/mnℤ が存在することを前問と同様の方法を用いて証明しなさい。

問題 12.5. 前問を用いて、 m, n を互いに素な正の整数とするとき、等式 am + bn = 1 を満たす整数 a, b が存在することを示しなさい。

問題 12.6.

(1) 写像 f : ℤ → ℤ/3ℤ × ℤ/5ℤ × ℤ/7ℤ を f(n) = ([n]_{3}, [n_{5}], [n]_{7}) で定義すると、これは準同型写像になることを示しなさい。

(2) 上の f を用いて、同型

ℤ/105ℤ ≅ ℤ/3ℤ × ℤ/5ℤ × ℤ/7ℤ

の存在を示しなさい。

問題 12.7. 準同型 f : ℝ^{×} → ℝ^{×} を、

f(x) = x^{2}

で定義したとき、次の各問いに答えなさい。 (1) f の像を求めなさい。

(2) f の核を求めなさい。

(3) 同型 ℝ^{×}/{±1} ≅ ℝ_{>0} = {r ∈ ℝ; r > 0} の存在を示しなさい。問題 12.8. 写像 f : ℝ_{>0} × ℝ/ℤ → ℂ^{×} を、

f(r, ū) = r(cos(2πu) + \sqrt{−1} sin(2πu))

により定めると、これはうまく定義できていて、準同型であることを示しなさい。さらに、この準同型は実は同型である (つまり全単射である) ことを示しなさい。

問題 12.9. 写像 f : 𝔖_{k} × 𝔖_{l} → 𝔖_{k+l} を、

[f(σ, τ)](1, 2, 3, …, k, k + 1, k + 2, …, k + l)
=(σ(1), σ(2), σ(3), …, σ(k), k + τ(1), k + τ(2), …, k + τ(l))

により定義すれは、 f は準同型であることを示しなさい。更に、 f は単射であることを示しなさい。

問題 12.10. 群 G が与えられているとします。 G の\underline{正規}部分群 H, K が次の二つの性質を満たすとき、 G は H × K と同型であることを示しなさい。

(1) H ∩ K = {e}.

(2) G は H ∪ K で生成される。さらに、このとき G/H ≅ K であることも示しなさい。

問題 12.11. 互いに素な整数 m, n が与えられているとします。さらに、 a, b を

am + bn = 1

を満たす整数とします。このとき、同型

f : ℤ/mnℤ ≅ ℤ/mℤ × ℤ/nℤ (f([x]_{mn}) = ([x]_{m}, [x]_{n}))

の逆写像を、 a, b を用いてあらわしなさい。 (f^{−1}([s]_{m}, [t]_{n}) をa, b, s, t, m, n の式であらわしなさい。 )

問題 12.12. G_{1}, G_{2} はそれぞれ元を二つ以上持つ群とします。このとき、 G_{1} × G_{2} には (自明なものも含めて) 少なくとも 4 つの正規部分群があることを示しなさい。