代数学 C(コア) 演習問題 No.12

定義 12.1   二つの群 $G,K$ の直積とは、直積集合 $G\times K$ ($G$ の元と $K$ の元のペア $(g,k)$ 全体のなす集合)に、乗法を

$$(g_1,k_1)\cdot (g_2,k_2)=(g_1 g_2,k_1 k_2)$$

で定義したものです。

問題 12.1   群の直積 $G\times K$ は上の乗法によって群になることを示しなさい。

問題 12.2 (0.5点)   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ について考えてみましょう。 これは、右手で三角形、左手で四角形を書く (タクトをふる)問題と関連付けることができます。

$$([1]_3,[0]_4)\leftrightarrow$$

$$([0]_3,[1]_4)\leftrightarrow$$

さて、 $([1]_3,[1]_4)$ の位数は $12$ であることを実際にやってみなさい。

問題 12.3   写像 $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$ を、

$$n\to ([n]_3,[n]_4)$$

で定義します。この時、

1. $f$ は準同型であることを示しなさい。
2. $f$ の核は $12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ であることを示しなさい。
3. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ と ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ との元の個数を比較して、両者が同型であ ることを示しなさい。

問題 12.4   $m,n$ を互いに素な正の整数とするとき、同型 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/m{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/mn{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ が存在することを 前問と同様の方法を用いて証明しなさい。

問題 12.5   前問を用いて、$m,n$ を互いに素な正の整数とするとき、 等式 $am+bn=1$ を満たす整数 $a,b$ が存在することを示しなさい。

問題 12.6  

1. 写像 $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\... ...5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/7{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を $f(n)=([n]_3,[n_5],[n]_7)$ で定義すると、これは準同型写像 になることを示しなさい。
2. 上の $f$ を用いて、同型
   $${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/105{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong {\mbox{${... ...{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/7{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$
   の存在を示しなさい。

問題 12.7   準同型 $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^{\times} \to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^\times$ を、

$$f(x)=x^2$$

で定義したとき、次の各問いに答えなさい。

1. $f$ の像を求めなさい。
2. $f$ の核を求めなさい。
3. 同型 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^\times/\{\pm 1\} \cong$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0}=\{r\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$; r>0\}$ の存在を示しなさい。

問題 12.8   写像 $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0} \times$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$/{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mathbb{C}}^\times$ を、

$$f(r,\bar{u})= r(\cos(2\pi u)+\sqrt{-1}\sin(2\pi u))$$

により定めると、これはうまく定義できていて、準同型であることを示しなさい。 さらに、この準同型は実は同型である(つまり全単射である)ことを示しなさ い。

問題 12.9   写像 $f:\frak S_k\times \frak S_l \to \frak S_{k+l}$ を、

$$[f(\sigma,\tau)] (1,2,3,\dots,k,k+1,k+2,\dots,k+l)$$

$$= (\sigma(1),\sigma(2),\sigma(3),\dots,\sigma(k), k+\tau(1),k+\tau(2),\dots,k+\tau(l))$$

により定義すれは、$f$ は準同型であることを示しなさい。 更に、$f$ は単射であることを示しなさい。

問題 12.10   群 $G$ が与えられているとします。$G$ の正規部分群 $H,K$ が次の二つの性質を満たすとき、$G$ は $H\times K$ と同型であることを示しな さい。

1. $H\cap K=\{e\}.$
2. $G$ は $H\cup K$ で生成される。

さらに、このとき $G/H \cong K$ であることも示しなさい。

問題 12.11   互いに素な整数 $m,n$ が与えられているとします。さらに、$a,b$ を

$$am+bn=1$$

を満たす整数とします。このとき、同型

$$f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/mn{\mbox{$... ...box{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\quad (f([x]_{mn})=([x]_m,[x]_n))$$

の逆写像を、$a,b$ を用いてあらわしなさい。( $f^{-1}([s]_m,[t]_n)$ を $a,b,s,t,m,n$ の式であらわしなさい。)

問題 12.12   $G_1, G_2$ はそれぞれ元を二つ以上持つ群とします。このとき、 $G_1\times G_2$ には(自明なものも含めて)少なくとも $4$ つの正規部分群があることを示しなさい。