代数学 C(コア) 演習問題 NO.13

群の作用とその応用編

定義 13.1. 群 G の集合 X への作用とは、次のような条件を満たす写像

G × X ∋ (g, x) → g.x ∈ X

のことです。 (1) (g_{1}g_{2}).x = g_{1}.(g_{2}.x) (∀g_{1}, g_{2} ∈ G, ∀x ∈ X).

(2) e.x = x (∀x ∈ X).

問題 13.1. 群 G の集合 X への作用が与えられているとする。このとき、各 g ∈ G にたいして、

α_{g} : X ∋ x ↦ g.x ∈ X

は全単射であることを証明しなさい。

問題 13.2. 群 G が有限群で、しかも単純群、すなわち G には e と G 以外に正規部分群が存在しない、と仮定する。このとき、 1 < d < |G| をみたすような正の整数 d にたいして、位数 d の G の部分群 H の数 m_{d} は、 0 か、または

|G| ≤ m_{d}!

をみたすことを証明しなさい。

問題 13.3. 群 G の X への作用が与えられているとする。このとき、各 x ∈ X にたいして、

G_{x} = {g ∈ X; g.x = x}

は G の部分群であることを証明しなさい。

問題 13.4. 有限群 G が有限集合 X に作用しているとする。このとき、各 x ∈ X に対して

Orbit(x) = {g.x; g ∈ G}

とおくと、 Orbit(x) の元の個数は

|G|/|G_{x}|

と等しいことを証明しなさい。

問題 13.5. 群 G は有限群であると仮定し、 G の部分群 H が与えられているとする。このとき、 H と G のなかで共役な群の個数 s は、 |G|/|H| の約数であることを証明しなさい。

問題 13.6. 群 G の位数が pq(p, q は素数で、 p < q) だったとする。このとき、 G の部分群 N の位数が q なら、 N は G の正規部分群であることを示しなさい。

問題 13.7. 群 G の位数が pq(p, q は素数で、 p < q) だったとする。このとき、 G には位数 q の部分群が存在することを示しなさい。 (シローの定理の特別の場合:シローの定理を使わずに証明すること。 )