代数学 C(コア) 演習問題 No.13

定義 13.1   群 $G$ の集合 $X$ への作用とは、次のような条件を満たす写像

$$G\times X \ni (g,x)\to g.x \in X$$

のことです。

1. $(g_1 g_2). x = g_1.(g_2. x)$ ( $\forall g_1,g_2\in G, \forall x \in X$ ).
2. $e.x=x$ ( $\forall x \in X$ ).

問題 13.1   群 $G$ の集合 $X$ への作用が与えられているとする。このとき、各 $g\in G$ にたいして、

$$\alpha_g: X\ni x \mapsto g.x \in X$$

は全単射であることを証明しなさい。

問題 13.2   群 $G$ が有限群で、しかも単純群、すなわち $G$ には $e$ と $G$ 以外に 正規部分群が存在しない、と仮定する。このとき、 $1 < d <\vert G\vert$ をみたすような正の整数 $d$ にたいして、 位数 $d$ の $G$ の部分群 $H$ の数 $m_d$ は、$0$ か、または

$$\vert G\vert \leq m_d!$$

をみたすことを証明しなさい。

問題 13.3   群 $G$ の $X$ への作用が与えられているとする。 このとき、各 $x \in X$ にたいして、

$$G_x=\{g\in X; g. x= x\}$$

は $G$ の部分群であることを証明しなさい。

問題 13.4   有限群 $G$ が有限集合 $X$ に作用しているとする。 このとき、各 $x \in X$ に対して

$$\operatorname{Orbit}(x)=\{g.x ; g\in G\}$$

とおくと、 $\operatorname{Orbit}(x)$ の元の個数は

$$\vert G\vert/\vert G_x\vert$$

と等しいことを証明しなさい。

問題 13.5   群 $G$ は有限群であると仮定し、 $G$ の部分群 $H$ が与えられているとする。 このとき、$H$ と $G$ のなかで共役な群の個数 $s$ は、 $\vert G\vert/\vert H\vert$ の約数であること を証明しなさい。

問題 13.6   群 $G$ の位数が $pq$ ($p,q$ は素数で、$p<q$ )だったとする。 このとき、$G$ の部分群 $N$ の位数が $q$ なら、$N$ は $G$ の正規部分群であることを示しなさい。

問題 13.7   群 $G$ の位数が $pq$ ($p,q$ は素数で、$p<q$ )だったとする。 このとき、$G$ には位数 $q$ の部分群が存在することを示しなさい。 (シローの定理の特別の場合:シローの定理を使わずに証明すること。)