代数学 C(コア) No.1要約

一学期の目標

定理 1.1 (群の準同型定理)   群 $G$ から別の群 $H$ への準同型写像 $\phi:G\to H$ が与えられたとする。 このとき、次が成り立つ。

1. $\phi$ の像 $\operatorname{Image}\phi$ は $H$ の部分群である。
2. $\phi$ の核 $N=\operatorname{Ker}\phi$ は $G$ の部分群である。
3. 剰余群 $G/N$ は $\operatorname{Image}\phi$ と同型である。

群の定義を理解する。

群とは、掛け算(または足し算)のできる集合のことである。 ただし、掛け算には、「ちゃんとした性質」がないといけない。

群の基本例は整数の加法群 $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ と 有理数の乗法群 $($$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\setminus\{0\},\times)$ である。 どちらも演算(二つのものから一つのものを計算する規則)が定義されていて、 その演算が結合法則を満たす、というところにまず着目して頂きたい。

定義 1.1 (群の定義)  

集合 $G$ が群であるとは、

(0)「演算」と呼ばれる写像 $m:G\times G\to G$ が定義されていて、

次の条件を満たすときに言う。

1. その演算は結合法則を満たす。
   $$m(m(x,y),z)=m(x,m(y,z)) \quad (\forall x,y,z \in G)$$

2. $G$ には単位元(普通 $e$ と書かれる)が存在する。すなわち、 ある $G$ の元 $e$ があって、
   $$m(e,x)=x, \quad m(x,e)=x \quad (\forall x \in G)$$
   がなり立つ。
3. $G$ の各元には逆元がある。すなわち、$G$ の任意の元 $x$ に対して、 $G$ のある元 $y$ が存在して、
   $$m(x,y)=e, \quad m(y,x)=e$$
   がなりたつ。

注意 1.1   群の定義において、集合 $G$ を決めただけではどんな演算を考えているのか 明確でないので、正確には、組 $(G,m)$ を群と呼ぶ。

例 1.1   次の $(G,m)$ はそれぞれ群である。

1. $G={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $m(x,y)=x+y$ . (この群のことを(加法)群 $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ と呼ぶ。)
2. $G=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\setminus \{0\}$ , $m(x,y)=xy$ . ((乗法)群 $($$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$^{\times} ,\times)$ と呼ぶ。)
3. $G={\operatorname{GL}}_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ , $m(x,y)=xy$ .

例 1.2   次の $(G,m)$ はそれぞれ群でない。

1. $G=\mathbb{N}$ , $m(x,y)=x+y$ .
2. $G=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ , $m(x,y)=xy$ .
3. $G={\operatorname{GL}}_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ , $m(x,y)=x+y$ .

$\bullet$ 写像、全射、単射、全単射の復習

写像 $f:X\to Y$ が、

1. 全射であるとは、どんな $Y$ の元 $y$ を取ってきても、$f(x)=y$ の解 $x\in X$ が存在するときに言う
2. 単射であるとは、$x_1,x_2$ が $X$ の異なる二つの元のときには、いつでも $f(x_1)\neq f(x_2)$ がなり立つときに言う。
3. 全単射であるというのは、全射でかつ単射のときに言う。

写像のことを話すときには始集合 $X$ 、終集合 $Y$ を 明確にしておくことが大事である。

例 1.3   数 $x$ に対してその二乗 $x^2$ を対応させる写像 $f$ を考える。 始集合、終集合をいろいろ変えてみることを考えてみよう。

1. $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 全射でも単射でもない。
2. $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0}\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 単射であるが全射でない。
3. $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{\geq 0}$ 全射であるが単射でない。
4. $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0}\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0}$ 全単射である。

$\bullet$ デカルト積集合の復習

集合 $A,B$ のデカルト積集合 $A\times B$ とは、 $A$ の元と $B$ の元との組全体のなす集合である。すなわち、

$$A\times B=\{(a,b);a\in A,\quad b\in B\}$$

例えば、

$$\{0,1,2\} \times \{a,b\} = \{ (0,a),(0,b), (1,a),(1,b), (2,a),(2,b) \}$$

$$\{0,1\} \times \{0,1\} = \{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$$

※レポート問題

次の中から一問を選んで、レポートとして提出しなさい。

(期限：次の講義の終了時まで。)

(I).

適当な数の集合を用いて群の例と群でない例(演算が定義された集合だが群にはならない例)を一つずつ挙げなさい。(オリジナルであること)

(II).

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ に、演算 $m$ を

$$m(x,y)=x+y+3$$

で定義する。このとき、 $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},m)$ は群であるか、理由をつけて答えなさい。

● http://www.math.kochi-u.ac.jp/docky/kogi に講義の要約(このプリント) を提供する.