代数学 C(コア) NO.3 要約

今日のテーマ《有限群》

• 元の数が有限であるような群を、有限群と言う。

• 群 G の元の個数を、 G の位数と言い、 |G| で表す。 \underline{有限群の重要な例として、有限対称群、有限巡回群、二面体群がある。}

定義 3.1. 集合 S が与えられたとする。このとき S から S への全単射の全体は写像の合成に関して群をなす。これを S 上の対称群と言う。有限集合上の対称群を有限対称群と呼ぶ。 n 個の元からなる集合 {1, 2, …, n} の上の対称群を、 n 次の対称群と呼ぶ。

要は、 n 個の元 1, …, n の置換全体のなす群が n 次の対称群である。

定理 3.1. n 次の対称群の位数は n! である。

定義 3.2 (有限巡回群の定義). 元の数が有限である巡回群を、有限巡回群と言う。

定義 3.3. 𝔖_{n} の元 a を a = (1 2 … n − 1 n) で定義する。このとき、

C_{n} = {e, a, a^{2}, a^{3}, a^{4}, …, a^{−1}, a^{−2}, … }

を位数 n の有限巡回群と呼ぶ。

注意上の元 a について、

a(k) = \begin{cases}k + 1 & (k ≠ n のとき) \\ 1 & (k = n のとき) \end{cases}

と書ける。だが、場合分けをするより、もっと楽な方法がある。 n を決めておいて、 1 ≤ k ≤ n の範囲では、 k のかわりに [k] という記号を導入する。 (どの n を考えているかはっきりさせたい時には [k]_{n} と書くこともある。 ) つぎに、一般の整数について、順繰りに、

[n + 1] = [1], [n + 2] = [2], [n + 3] = [3], …,
[0] = [n], [−1] = [n − 1], [−2] = [n − 2], …

等と約束する。例えば、 n = 13 ならば、

[14] = [1], [15] = [2], [16] = [3], …,
[0] = [13], [−1] = [12], [−2] = [10], …,
[128] = [10], [−128] = [2], etc

[k] = [l] かどうかは、 k − l が n で割り切れるかどうかで判断できることに注意しておこう。

以上のようにしておいて、 C_{n} は {[1], [2], [3], …, [n]} の置換だとみなすと、

a([k]) = [k + 1]

と書ける。これは以後の定理の証明に非常に有効である。

定理 3.2. 上の C_{n} を考え、 a = (1 2 … n − 1 n) とおく。このとき、 (1) a^{n} = e である。 (e は恒等置換)

(2) 整数 k, l に対して、

a^{k} = a^{l}

が成り立つということと、 k − l は n の倍数であるということとは、同値である。

(3) C_{n} の位数は n である。

正 n 角形をそれ自身に重ねあわせる操作のなす群を二面体群と言う。これをここでは次のように導入する。

定義 3.4. n は 3 以上の整数であるとする。 𝔖_{n} のなかで、 a = (1 2 … n − 1 n) と、

b = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & … & n − 1 & n \\ n & n − 1 & n − 2 & … & 2 & 1 \end{matrix})

とで生成された群を 𝔻_{n} と書き、二面体群と言う。

注意

等式

b(k) = n − k + 1

が成り立つ。さらに、先ほど述べた [k] という記号を用いると、

b([k]) = [−k + 1]

が成り立つ。

定理 3.3.

(1) 等式 a^{n} = e, b^{2} = e, bab^{−1} = a^{−1} が成り立つ。

(2) a^{k}ba^{l} = a^{k−l}b が全ての整数 k, l について成り立つ。

(3) 𝔻_{n} の元は

e, a, a^{2}, a^{3}, …, a^{n−1}, b, ab, a^{2}b, a^{3}b, …, a^{n−1}b

の 2n 個ある。特に、 𝔻_{n} の位数は 2n である。

※レポート問題次の中から一問を選んで、レポートとして提出しなさい。

(期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) a^{k}(b(a^{l}([x]))) および a^{k−l}(b([x])) を計算することにより、定理

5.3 の 2. を証明しなさい。 (II) 𝔻_{3} = 𝔖_{3} を示しなさい。