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代数学 C No.4要約

\fbox{今日のテーマ} 《有限群(続き)・生成される部分群》

$ G$ と、その部分集合 $ M$ とが与えられているとする。このとき、

$ \bullet$ $ M$ で生成される $ G$ の部分群とは、 $ M$ を含む最小の部分群のことである。

$ \bullet$ 特に、$ G$ 自身が $ M$ で生成される $ G$ の部分群であるとき、 単に、$ G$$ M$ で生成される。という。

《生成される部分群》の正確な定義は次のようになる。

定義 4.1 (《生成される部分群》の定義)  

$ G$ とその部分集合 $ M$ とが与えられているとする。 $ G$ の部分群 $ H$$ M$ で生成される $ G$ の部分群であるとは、 次の条件を満たすときに言う。

(0) $ H$$ M$ を部分集合として含む $ G$ の部分群である。

(1) $ H$ は上の条件 (0) を満たすもののうち最小のものである。 すなわち、次のことが成り立つ。

$ K$ が、$ M$ を部分集合として含む $ G$ の部分集合であれば、 $ H$$ K$ の部分群になる。

問題 4.1   二面体群 $ \mathbb{D}_n$ の元 $ a^3$ で生成される $ \mathbb{D}_n$ の 元の個数を $ n=3,4,5,6$ の場合についてそれぞれ計算しなさい。



2006-05-08