代数学 C No.4要約

《有限群(続き)・生成される部分群》

群 $G$ と、その部分集合 $M$ とが与えられているとする。このとき、

$\bullet$ $M$ で生成される $G$ の部分群とは、 $M$ を含む最小の部分群のことである。

$\bullet$ 特に、$G$ 自身が $M$ で生成される $G$ の部分群であるとき、 単に、$G$ は $M$ で生成される。という。

《生成される部分群》の正確な定義は次のようになる。

定義 4.1 (《生成される部分群》の定義)  

群 $G$ とその部分集合 $M$ とが与えられているとする。 $G$ の部分群 $H$ が $M$ で生成される $G$ の部分群であるとは、 次の条件を満たすときに言う。

(0) $H$ は $M$ を部分集合として含む $G$ の部分群である。

(1) $H$ は上の条件 (0) を満たすもののうち最小のものである。 すなわち、次のことが成り立つ。

$K$ が、$M$ を部分集合として含む $G$ の部分集合であれば、 $H$ は $K$ の部分群になる。

問題 4.1   二面体群 $\mathbb{D}_n$ の元 $a^3$ で生成される $\mathbb{D}_n$ の 元の個数を $n=3,4,5,6$ の場合についてそれぞれ計算しなさい。