代数学 C NO.6 要約

今日のテーマ《群の、部分群による左剰余類集合》 G を群、 H をその部分群とする。このとき、

• G に、次のようにして同値関係 ∼ が定まる。

x ∼ y ⇔ ある h ∈ H があって、 xh = y が成り立つ。

定理 6.1. G を群、 H をその部分群とする。このとき、 G に、次のようにして同値関係 ∼ が定まる。

x ∼ y ⇔ ある h ∈ H があって、 xh = y が成り立つ。

これからはこの同値関係には記号 x ∼ y の代わりに、

x ≡ y (mod H)

と書いて、《x は y と H を法として左合同である》と言う事にする。考えている部分群 H が明確なときには、 (mod H) を書くのは省略して良い。 x のクラス C(x) を x の H を法とする左剰余類と言う。

• 上のように決めた同値関係 ≡ (mod H) による G の商集合 G/ ≡ を G/H と書き、 G の H による左剰余類集合という。

例 6.1. (ℤ, +) をその部分群 nℤ で割ると、以前に説明した「拡張した番号づけをされた頂点の集合」と同じものが得られる。

定理 6.2. G を群とし、 H をその部分群とする。このとき、

(1) G の任意の元 g に対して、 g の H を法とする左剰余類 C(g)

は

gH = {gh; h ∈ H}

と一致する。

(2) C(g) (= gH) と H とは元の個数が等しい。

(3) G の位数 |G| が有限ならば、 G/H の元の個数 #(G/H) と H の位数 |H| とはともに有限で、

|G| = #(G/H)|H|

が成り立つ。

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) 元 a で生成される位数二十の有限巡回群 C_{20}(= ⟨a; a^{20} = e⟩) を考えます。 a^{4} で生成される C_{20} の部分群 H の元をすべて書き出し、 G が、《H を法として左合同》と言う同値関係でどのように類別されるか、 C_{20} の元のクラス分けの表を作って示しなさい。特に、 C_{20}/H の元の個数はいくらか？

(II) 群 G とその部分群 H とが与えられたとします。 |H| と #(G/H) とがともに有限ならば、 |G| も有限である事を示しなさい。