1=6

代数学 C No.6要約

《群の、部分群による左剰余類集合》

$G$ を群、$H$ をその部分群とする。このとき、

$\bullet$ $G$ に、次のようにして同値関係 $\sim$ が定まる。

$$x\sim y {\Leftrightarrow}$$   ある $h&isin#in;H$ があって、$$xh=y$$ が成り立つ。

定理 6.1   $G$ を群、$H$ をその部分群とする。このとき、 $G$ に、次のようにして同値関係 $\sim$ が定まる。

$$x\sim y {\Leftrightarrow}$$   ある $h&isin#in;H$ があって、$$xh=y$$ が成り立つ。

これからはこの同値関係には記号 $x \sim y$ の代わりに、

$$x \equiv y \quad ({\operatorname{mod}} H)$$

と書いて、《$x$ は $y$ と$H$ を法として左合同である》と言う事にする。考えている 部分群 $H$ が明確なときには、 $({\operatorname{mod}} H)$ を書くのは省略して良い。$x$ のクラス $C(x)$ を $x$ の $H$ を法とする左剰余類と言う。

$\bullet$ 上のように決めた同値関係 $\equiv ({\operatorname{mod}} H)$ による $G$ の商集合 $G/\equiv$ を $G/H$ と書き、$G$ の $H$ による左剰余類集合という。

例 6.1   $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ をその部分群 $n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ で割ると、以前に説明した 「拡張した番号づけをされた頂点の集合」 と同じものが 得られる。

定理 6.2   $G$ を群とし、$H$ をその部分群とする。このとき、

1. $G$ の任意の元 $g$ に対して、$g$ の $H$ を法とする左剰余類 $C(g)$ は
   $$gH=\{gh;h\in H\}$$
   と一致する。
2. $C(g) (=gH)$ と $H$ とは元の個数が等しい。
3. $G$ の位数 $\vert G\vert$ が有限ならば、$G/H$ の元の個数 $\char93 (G/H)$ と $H$ の位数 $\vert H\vert$ とはともに有限で、
   $$\vert G\vert=\char93 (G/H) \vert H\vert$$
   が成り立つ。

※レポート問題

つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。)

(I).

元 $a$ で生成される位数二十の有限巡回群 $C_{20} (=\langle a; a^{20}=e \rangle)$ を考えます。 $a^4$ で生成される $C_{20}$ の部分群 $H$ の元をすべて書き出し、 $G$ が、《$H$ を法として左合同》と言う同値関係でどのように類別されるか、$C_{20}$ の元のクラス分けの表を作って示しなさい。特に、$C_{20}/H$ の元の個数はいくらか？

(II).

群 $G$ とその部分群 $H$ とが与えられたとします。$\vert H\vert$ と $\char93 (G/H)$ とが ともに有限ならば、$\vert G\vert$ も有限である事を示しなさい。