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1=6

代数学 C No.6要約

\fbox{今日のテーマ} 《群の、部分群による左剰余類集合》

$ G$ を群、$ H$ をその部分群とする。このとき、

$ \bullet$ $ G$ に、次のようにして同値関係 $ \sim$ が定まる。

$\displaystyle x\sim y  {\Leftrightarrow} $   ある $h&isin#in;H$ があって、$\displaystyle xh=y$ が成り立つ。

定理 6.1   $ G$ を群、$ H$ をその部分群とする。このとき、 $ G$ に、次のようにして同値関係 $ \sim$ が定まる。

$\displaystyle x\sim y  {\Leftrightarrow} $   ある $h&isin#in;H$ があって、$\displaystyle xh=y$ が成り立つ。

これからはこの同値関係には記号 $ x \sim y$ の代わりに、

% latex2html id marker 818
$\displaystyle x \equiv y \quad ({\operatorname{mod}} H)
$

と書いて、《$ x$$ y$$ H$ を法として左合同である》と言う事にする。考えている 部分群 $ H$ が明確なときには、 $ ({\operatorname{mod}} H)$ を書くのは省略して良い。$ x$ のクラス $ C(x)$$ x$$ H$ を法とする左剰余類と言う。

$ \bullet$ 上のように決めた同値関係 % latex2html id marker 840
$ \equiv  ({\operatorname{mod}} H)$ による $ G$ の商集合 % latex2html id marker 844
$ G/\equiv$$ G/H$ と書き、$ G$$ H$ による左剰余類集合という。

例 6.1   $ ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ をその部分群 $ n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ で割ると、以前に説明した 「拡張した番号づけをされた頂点の集合」 と同じものが 得られる。

定理 6.2   $ G$ を群とし、$ H$ をその部分群とする。このとき、
  1. $ G$ の任意の元 $ g$ に対して、$ g$$ H$ を法とする左剰余類 $ C(g)$

    $\displaystyle gH=\{gh;h\in H\}
$

    と一致する。
  2. $ C(g)  (=gH)$$ H$ とは元の個数が等しい。
  3. $ G$ の位数 $ \vert G\vert$ が有限ならば、$ G/H$ の元の個数 $ \char93 (G/H)$$ H$ の位数 $ \vert H\vert$ とはともに有限で、

    $\displaystyle \vert G\vert=\char93 (G/H) \vert H\vert
$

    が成り立つ。

※レポート問題

つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限:次の講義の終了時まで。)

(I).
$ a$ で生成される位数二十の有限巡回群 $ C_{20} (=\langle a; a^{20}=e
\rangle)$ を考えます。 $ a^4$ で生成される $ C_{20}$ の部分群 $ H$ の元をすべて書き出し、 $ G$ が、《$ H$ を法として左合同》と言う同値関係でどのように類別されるか、$ C_{20}$ の元のクラス分けの表を作って示しなさい。特に、$ C_{20}/H$ の元の個数はいくらか?

(II).
$ G$ とその部分群 $ H$ とが与えられたとします。$ \vert H\vert$$ \char93 (G/H)$ とが ともに有限ならば、$ \vert G\vert$ も有限である事を示しなさい。


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2006-05-22