1=8 1 by -1

代数学 C No.8要約

準同型とは、演算を保つ写像の事である。

定義 8.1   $G,H$ を群とする。$G$ から $H$ への写像 $f:G\to H$ が準同型（正確には、群としての準同型写像)であるとは、 任意の $g_1,g_2\in G$ に対して、

$$f(g_1 g_2)=f(g_1)f(g_2)$$

が成り立つときに言う。 準同型 $f$ が全単射でもある時、$f$ を同型と言う。

例 8.1   準同型の例

1. 任意の群 $G$ に対して、$G$ の上の恒等写像 ${\operatorname{id}}:G\to G$ は $G$ から $G$ への準同型である。これは全単射であるから、同型である。
2. $n$ を正の整数とする。 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から $n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $f$ を、
   $$f(k)=nk$$
   により定めると、$f$ は準同型である。これも同型である。
3. $n$ を正の整数とする。 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $f$ を、
   $$f(k)=nk$$
   で定めると、$f$ は準同型である。これは $n>1$ なら同型ではない。
4. $n$ を正の整数とする。 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から $C_n=\langle a; a^n=e \rangle$ を、
   $$f(k)=a^k$$
   で定めると、$f$ は準同型である。これは同型ではない。
5. $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ から $($$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$^\times,\times))$ への写像 $f$ を
   $$f(k)=2^k \qquad(k\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$$
   で定義すると、$f$ は準同型である。これは同型ではない。

例 8.2   さらなる準同型の例

1. $n,m$ を正の整数とし、$n$ は $m$ の倍数であるとする。 $C_n=\langle a; a^n=e \rangle$ から $C_m=\langle b;b^m=e \rangle$ への写像 $f$ を、
   $$f(a^k)=b^k$$
   で定義する。このとき、$f$ は準同型写像である。$n\neq m$ ならば、$f$ は同型ではない。
2. $G={\operatorname{GL}}(n;$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ から、 $H=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^{\times}$ への写像 $f$ を、
   $$f(A)=\operatorname{det}(A)$$
   で定義すると、$f$ は準同型である。これは行列式を扱う時の基本になる。

例 8.3 (準同型でない例)  

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $n\mapsto n^2$ は準同型ではない。
2. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $n\mapsto n+1$ も準同型ではない。

これまで、群には演算、というデータのほかに、単位元、逆元の存在が基本的である と言ってきた。これらは準同型で自動的に保存される。次の定理でそのことを示そう。

定理 8.1   $G,H$ を群とする。$G$ から $H$ への準同型写像 $f:G\to H$ に対して、次の事が 成り立つ。

1. $f$ は単位元を単位元にうつす。すなわち、
   $$f(e_G)=e_H. \quad ($$$e_G,e_H$ はそれぞれ $G.H$ の単位元$$)$$

2. $f$ は逆元を逆元にうつす。すなわち、任意の $G$ の元 $g$ に対して、
   $$f(g^{-1})=f(g)^{-1}$$
   が成り立つ。
3. 任意の整数 $n$ と任意の $G$ の元 $g$ に対して、
   $$f(g^n)=f(g)^n$$
   が成り立つ。

$\bullet$ 準同型の核

定義 8.2   $f:G\to H$ を二つの群の間の準同型とする。$f$ の核 (kernel) とは、$H$ の単位元 $e_H$ の $f$ の逆像の事である。すなわち、

$$\operatorname{Ker}(f)=f^{-1}(e_H)=\{g\in G; f(g)=e_H\}$$

準同型を調べよ、と言われたらとりあえずその核を調べる。核は次のような性質と役割 をもつ。

定理 8.2   $f:G\to H$ を二つの群の間の準同型とする。このとき、

1. $f$ の核 $\operatorname{Ker}(f)$ は $G$ の正規部分群である。
2. $g_1,g_2\in G$ に対して、「 $f(g_1)=f(g_2)$ 」 と 「 $g_1 \equiv g_2 \ ({\operatorname{mod}}\operatorname{Ker}(f))$ 」 とは同値である。

上の定理はとても大事であるので、次回からも引き続き考えることになる。 (実力のある諸君はこの時点で準同型定理(NO.1 要約参照) の証明を完結できる筈である。試していただきたい。)

※レポート問題

つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。)

(I).

例 8.2(1)において、「$n$ は $m$ の倍数である」という条件を 取り去ると $f$ は群の準同型と言えるか、$n=2,m=3$ のときを例にとって 論じなさい。

(II).

二面体群 $\Bbb D_n=\langle a,b; a^n=e, b^2=e, ab=ba^{-1} \rangle$ から $C_n=\langle a; a^n=e \rangle$ への写像 $f$ を、

$$f(a^k b^l)= a^k \quad (k \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}},\ l\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$$

で定めると、これは (i)写像としてうまく定義されているけれども (ii)群の準同型写像ではないという事を示しなさい。

(III).

二面体群 $\Bbb D_n=\langle a,b; a^n=e, b^2=e, ab=ba^{-1} \rangle$ から $(\{\pm 1\}, \times)$ への写像 $f$ を、

$$f(a^k b^l)= (-1)^l \quad (k \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}},\ l\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$$

で定めると、これは群の準同型写像である事を示しなさい。