next up previous
Next: About this document ...

1=8 1 by -1

����� C No.8����

\fbox{�����Υơ���}

��Ʊ���Ȥϡ��黻���ݤļ����λ��Ǥ��롣

��� 8.1   $ G,H$ �򷲤Ȥ��롣$ G$ ���� $ H$ �ؤμ��� $ f:G\to H$ ����Ʊ�������Τˤϡ����Ȥ��Ƥν�Ʊ������)�Ǥ���Ȥϡ� Ǥ�դ� $ g_1,g_2\in G$ ���Ф��ơ�

$\displaystyle f(g_1 g_2)=f(g_1)f(g_2) $

������Ω�ĤȤ��˸����� ��Ʊ�� $ f$ ����ñ�ͤǤ⤢�����$ f$ ��Ʊ���ȸ�����

�� 8.1   ��Ʊ������
  1. Ǥ�դη� $ G$ ���Ф��ơ�$ G$ �ξ�ι������� $ {\operatorname{id}}:G\to G$ �� $ G$ ���� $ G$ �ؤν�Ʊ���Ǥ��롣�������ñ�ͤǤ��뤫�顢Ʊ���Ǥ��롣
  2. $ n$ �����������Ȥ��롣 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� $ n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $ f$ ��

    $\displaystyle f(k)=nk $

    �ˤ������ȡ�$ f$ �Ͻ�Ʊ���Ǥ��롣�����Ʊ���Ǥ��롣
  3. $ n$ �����������Ȥ��롣 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $ f$ ��

    $\displaystyle f(k)=nk $

    ������ȡ�$ f$ �Ͻ�Ʊ���Ǥ��롣����� $ n>1$ �ʤ�Ʊ���ǤϤʤ���
  4. $ n$ �����������Ȥ��롣 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� $ C_n=\langle a; a^n=e \rangle $ ��

    $\displaystyle f(k)=a^k $

    ������ȡ�$ f$ �Ͻ�Ʊ���Ǥ��롣�����Ʊ���ǤϤʤ���
  5. $ ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ ���� $ ($$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ ^\times,\times))$ �ؤμ��� $ f$ ��

    % latex2html id marker 1099 $\displaystyle f(k)=2^k \qquad(k\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}) $

    ���������ȡ�$ f$ �Ͻ�Ʊ���Ǥ��롣�����Ʊ���ǤϤʤ���

�� 8.2   ����ʤ��Ʊ������
  1. $ n,m$ �����������Ȥ���$ n$ �� $ m$ ���ܿ��Ǥ���Ȥ��롣 $ C_n=\langle a; a^n=e \rangle $ ���� $ C_m=\langle b;b^m=e \rangle $ �ؤμ��� $ f$ ��

    $\displaystyle f(a^k)=b^k $

    ��������롣���ΤȤ���$ f$ �Ͻ�Ʊ�������Ǥ��롣% latex2html id marker 1124 $ n\neq m$ �ʤ�С�$ f$ ��Ʊ���ǤϤʤ���
  2. $ G={\operatorname{GL}}(n;$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ )$ ���顢 $ H=$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ^{\times}$ �ؤμ��� $ f$ ��

    $\displaystyle f(A)=\operatorname{det}(A) $

    ���������ȡ�$ f$ �Ͻ�Ʊ���Ǥ��롣����Ϲ��󼰤򰷤����δ��ܤˤʤ롣

�� 8.3 (��Ʊ���Ǥʤ���)  
  1. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $ n\mapsto n^2$ �Ͻ�Ʊ���ǤϤʤ���
  2. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $ n\mapsto n+1$ ���Ʊ���ǤϤʤ���

����ޤǡ����ˤϱ黻���Ȥ����ǡ����Τۤ��ˡ�ñ�̸����ո���¸�ߤ�����Ū�Ǥ��� �ȸ��äƤ����������Ͻ�Ʊ���Ǽ�ưŪ����¸����롣���������Ǥ��Τ��Ȥ򼨤�����

���� 8.1   $ G,H$ �򷲤Ȥ��롣$ G$ ���� $ H$ �ؤν�Ʊ������ $ f:G\to H$ ���Ф��ơ����λ��� ����Ω�ġ�
  1. $ f$ ��ñ�̸���ñ�̸��ˤ��Ĥ������ʤ����

    % latex2html id marker 1174 $\displaystyle f(e_G)=e_H. \quad ($$e_G,e_H$ �Ϥ��줾�� $G.H$ ��ñ�̸�$\displaystyle ) $

  2. $ f$ �ϵո���ո��ˤ��Ĥ������ʤ����Ǥ�դ� $ G$ �θ� $ g$ ���Ф��ơ�

    $\displaystyle f(g^{-1})=f(g)^{-1} $

    ������Ω�ġ�
  3. Ǥ�դ����� $ n$ ��Ǥ�դ� $ G$ �θ� $ g$ ���Ф��ơ�

    $\displaystyle f(g^n)=f(g)^n $

    ������Ω�ġ�

$ \bullet$ ��Ʊ���γ�

��� 8.2   $ f:G\to H$ ����Ĥη��δ֤ν�Ʊ���Ȥ��롣$ f$ �γ� (kernel) �Ȥϡ�$ H$ ��ñ�̸� $ e_H$ �� $ f$ �ε����λ��Ǥ��롣���ʤ����

$\displaystyle \operatorname{Ker}(f)=f^{-1}(e_H)=\{g\in G; f(g)=e_H\} $

��Ʊ����Ĵ�٤衢�ȸ���줿��Ȥꤢ�������γˤ�Ĵ�٤롣�ˤϼ��Τ褦����������� ���ġ�

���� 8.2   $ f:G\to H$ ����Ĥη��δ֤ν�Ʊ���Ȥ��롣���ΤȤ���
  1. $ f$ �γ� $ \operatorname{Ker}(f)$ �� $ G$ ��������ʬ���Ǥ��롣
  2. $ g_1,g_2\in G$ ���Ф��ơ��� $ f(g_1)=f(g_2)$ �� �� �� % latex2html id marker 1229 $ g_1 \equiv g_2 \ ({\operatorname{mod}}\operatorname{Ker}(f))$ �� �Ȥ�Ʊ�ͤǤ��롣

��������ϤȤƤ�����Ǥ���Τǡ����󤫤�����³���ͤ��뤳�Ȥˤʤ롣 (���ϤΤ�������Ϥ��λ����ǽ�Ʊ������(NO.1 ���󻲾�) �ξ����򴰷�Ǥ���Ȧ�Ǥ��롣��Ƥ�������������)

����ݡ�������

�Ĥ��Τ�����������򤷤Ʋ򤭤ʤ����� (���¡����ιֵ��ν�λ���ޤǡ�)

(I).
�� 8.2(1)�ˤ����ơ���$ n$ �� $ m$ ���ܿ��Ǥ���פȤ������� ������ $ f$ �Ϸ��ν�Ʊ���ȸ����뤫��$ n=2,m=3$ �ΤȤ�����ˤȤä� �����ʤ�����
(II).
�����η� $ \Bbb D_n=\langle a,b; a^n=e, b^2=e, ab=ba^{-1} \rangle $ ���� $ C_n=\langle a; a^n=e \rangle $ �ؤμ��� $ f$ ��

% latex2html id marker 1245 $\displaystyle f(a^k b^l)= a^k \quad (k \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}},\ l\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}) $

������ȡ������ (i)�����Ȥ��Ƥ��ޤ��������Ƥ��뤱��ɤ� (ii)���ν�Ʊ�������ǤϤʤ��Ȥ������򼨤��ʤ�����

(III).
�����η� $ \Bbb D_n=\langle a,b; a^n=e, b^2=e, ab=ba^{-1} \rangle $ ���� $ (\{\pm 1\}, \times) $ �ؤμ��� $ f$ ��

% latex2html id marker 1253 $\displaystyle f(a^k b^l)= (-1)^l \quad (k \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}},\ l\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}) $

������ȡ�����Ϸ��ν�Ʊ�������Ǥ�����򼨤��ʤ�����
next up previous
Next: About this document ...
2006-06-05