代数学 C NO.9 要約

今日のテーマ準同型定理の証明と準同型定理の応用

定理 9.1 (群の準同型定理). 群 G から別の群 H への準同型写像 ϕ : G → H が与えられたとする。このとき、次が成り立つ。

(1) ϕ の像 Image ϕ は H の部分群である。

(2) ϕ の核 N = Ker ϕ は G の正規部分群である。

(3) 剰余群 G/N は Image ϕ と同型である。

(補足)

第一回の準同型定理のステートメントでは、 N は G の部分群であるとだけ述べているが、実際には\underline{正規}部分群である。

次に問題になるのは、準同型定理をいかに使いこなすか、ということである。

例 9.1. n は正の整数であるとする。このとき (ℤ, +) から C_{n} = ⟨a; a^{n} = e への写像 f を、

f(k) = a^{k}

で定義すると、 f は全射準同型であり、 Ker(f) = nℤ である。群の準同型定理により、 f は ℤ/nℤ と C_{n} との同型を与えることがわかる。

例 9.2. n, m は正の整数で、 n は m の倍数であるとする。このとき C_{n} = ⟨a; a^{n} = e⟩ から C_{m} = ⟨b; b^{m} = e⟩ への写像 f を、 f(a^{k}) = b^{k} で定めると、これはうまく定義されていて、全射準同型写像になっている。 f の核 Ker(f) は N = ⟨a^{n/m}⟩ に一致する。ゆえに、準同型定理により、

C_{n}/N ≅ C_{m}

が成立することが分かる。

例 9.3. 位数 2n の二面体群 𝔻_{n} = ⟨a, b; a^{n} = e, b^{2} = e, ab = ba^{−1}⟩ から ({±1}, ×) への写像 f を、

f(a^{k}b^{l}) = (−1)^{l} (k ∈ ℤ, l ∈ ℤ)

で定めると、これは全射準同型写像になり、 f の核は ⟨a⟩ = {a^{k}; k = 0, 1, …, n − 1} に一致する。ゆえに、 ⟨a⟩ は 𝔻_{n} の正規部分群であり、

𝔻_{n}/⟨a⟩ ≅ {±1}

が成立することがわかる。

レポート問題

(I) ℤ/8ℤ から ℤ/20ℤ への写像 f を、 f([x]_{8}) = [15x]_{20} で与えたとき、これがうまく定義されていることを示し、 f が群の準同型であること、および準同型定理により f から得られる同型を対応表を書く等の方法により求めなさい。

訂正:この問題は出題時誤った部分がありました。 (15 のところが 12 で、それでは写像がうまく定義されない。 ) が、そのような誤りに気づくのも大事なので、そのまま採点します。