代数学 C No.9要約

準同型定理の証明と準同型定理の応用

定理 9.1 (群の準同型定理)   群 $G$ から別の群 $H$ への準同型写像 $\phi:G\to H$ が与えられたとする。 このとき、次が成り立つ。

1. $\phi$ の像 $\operatorname{Image}\phi$ は $H$ の部分群である。
2. $\phi$ の核 $N=\operatorname{Ker}\phi$ は $G$ の正規部分群である。
3. 剰余群 $G/N$ は $\operatorname{Image}\phi$ と同型である。

(補足)

第一回の準同型定理のステートメントでは、 $N$ は $G$ の部分群であるとだけ述べているが、実際には 正規部分群である。

次に問題になるのは、準同型定理をいかに使いこなすか、ということである。

例 9.1   $n$ は正の整数であるとする。 このとき $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ から $C_n=\langle a; a^n=e$ への写像 $f$ を、

$$f(k)=a^k$$

で定義すると、$f$ は全射準同型であり、 $\operatorname{Ker}(f)=n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ である。 群の準同型定理により、$f$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ と $C_n$ との 同型を与えることがわかる。

例 9.2   $n,m$ は正の整数で、$n$ は $m$ の倍数であるとする。このとき $C_n=\langle a ; a^n=e\rangle$ から $C_m=\langle b; b^m=e \rangle$ への 写像 $f$ を、 $f(a^k)=b^k$ で定めると、 これはうまく定義されていて、全射準同型写像になっている。 $f$ の核 $\operatorname{Ker}(f)$ は $N=\langle a^{n/m}\rangle$ に一致する。 ゆえに、準同型定理により、

$$C_n / N \cong C_m$$

が成立することが分かる。

例 9.3   位数 $2n$ の二面体群 $\Bbb D_n=\langle a,b; a^n=e, b^2=e, ab=ba^{-1} \rangle$ から $(\{\pm 1\},\times )$ への写像 $f$ を、

$$f(a^k b^l)= (-1)^l \quad (k \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}},\ l\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$$

で定めると、これは全射準同型写像になり、$f$ の核は $\langle a \rangle =\{a^k;k=0,1,\dots,n-1\}$ に 一致する。ゆえに、 $\langle a \rangle$ は $\Bbb D_{n}$ の正規部分群であり、

$$\Bbb D_n /\langle a \rangle \cong \{\pm 1\}$$

が成立することがわかる。

レポート問題

(I).

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/8{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/20{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $f$ を、 $f([x]_8)=[15 x]_{20}$ で与えたとき、これがうまく定義されていることを示し、 $f$ が群の準同型であること、および準同型定理により $f$ から得られる同型 を対応表を書く等の方法により求めなさい。

訂正:この問題は出題時誤った部分がありました。 (15のところが 12 で、それでは写像がうまく定義されない。) が、そのような誤りに気づくのも大事なので、 そのまま採点します。