代数学 C NO.13 要約

今日のテーマ群の集合への作用と表現

定義 13.1. 群 G の集合 X への作用とは、次のような条件を満たす写像

G × X ∋ (g, x) → g.x ∈ X

のことである。 (1) (g_{1}g_{2}).x = g_{1}.(g_{2}.x) (∀g_{1}, g_{2} ∈ G, ∀x ∈ X).

(2) e.x = x (∀x ∈ X).

例 13.1. 群 G と、その部分群 H が与えられたとき、 G は G/H に

g.[x] = [gx]

により作用する。 ([x] は x ∈ G の G/H でのクラス).

例 13.2. 群 G の G への作用を次の三種類定義することができる。 (1) g.x = gx. (左作用)

(2) g.x = x(g^{−1}). (右作用)

(3) g.x = gxg^{−1}. (共役による作用).

例 13.3. 有限群 G が与えられているとき、 X = {G の部分群} への G の作用が

g.H = gHg^{−1}

により決められる。更に、正の整数 n に対して、 X_{n} = {H ∈ X; |H| = n} とおくと、 G は上記と同じ定義式により X_{n} にも作用する。

補題 13.1. 群 G が有限集合 X に作用しているとする。このとき G から 𝔖_{n} (n = #X ) への群準同型が定まる。

※レポート問題

問題 13.1. G = 𝔖_{3} にたいし、 G の部分群の全体 X を考える。このとき、

(1) X を求めよ。

(2) G は共役により X に作用するから、補題 13.1 のように

G → 𝔖_{6}

が定まる。この写像を具体的に書き下せ。