代数学 C No.13要約

今日のテーマ

定義 13.1   群 $G$ の集合 $X$ への作用とは、次のような条件を満たす写像

$$G\times X \ni (g,x)\to g.x \in X$$

のことである。

1. $(g_1 g_2). x = g_1.(g_2. x)$ ( $\forall g_1,g_2\in G, \forall x \in X$ ).
2. $e.x=x$ ( $\forall x \in X$ ).

例 13.1   群 $G$ と、その部分群 $H$ が与えられたとき、$G$ は $G/H$ に

$$g. [ x ] =[ g x ]$$

により作用する。($[x]$ は $x\in G$ の $G/H$ でのクラス).

例 13.2   群 $G$ の $G$ への作用を次の三種類定義することができる。

1. $g. x=g x$ . (左作用)
2. $g . x = x (g^{-1})$ . (右作用)
3. $g. x = g x g^{-1}$ . (共役による作用).

例 13.3   有限群 $G$ が与えられているとき、 $X=\{G$   の部分群 $\}$ への $G$ の作用が

$$g. H= g H g^{-1}$$

により決められる。 更に、正の整数 $n$ に対して、 $X_n=\{ H\in X; \vert H\vert=n\}$ とおくと、$G$ は 上記と同じ定義式により $X_n$ にも作用する。

補題 13.1   群 $G$ が有限集合 $X$ に作用しているとする。このとき $G$ から $\mathfrak{S}_n$ ($n=\char93 X$ )への群準同型が定まる。

※レポート問題

問題 13.1   $G=\mathfrak{S}_3$ にたいし、$G$ の部分群の全体 $X$ を考える。 このとき、

1. $X$ を求めよ。
2. $G$ は共役により $X$ に作用するから、補題 13.1 のように
   $$G\to \mathfrak{S}_6$$
   が定まる。この写像を具体的に書き下せ。