代数学III 要約 No.2

今日のテーマ

定義 2.1   体 $L$ の部分集合 $K$ が $L$ の部分体であるとは、$K$ 自身が $L$ の演算で体になっているときに言う。

定義 2.2 (体に元を付け加えてできる体)   体 $L$ と、その部分体 $K$ , および $L$ の元 $\alpha$ が 与えられているとする。 このとき、$K$ と $\alpha$ とを含む $L$ の部分体のうち最小のものを $k(\alpha)$ (丸括弧に注意) と書き、$K$ に $\alpha$ を付け加えてできる体と呼ぶ。

補題 2.1  

$$K(\alpha)=\{ \frac{ a(\alpha) } { b(\alpha) }; a,b \text{は $K$ 係数の多項式} \}$$

定義 2.3   体 $K$ は体 $L$ の部分体であるとする。 $\alpha\in L$ が解になるような $K$ 上の一変数多項式 $f(X) \quad(\neq 0)$ であって、 $f(\alpha)=0$ をみたすものが存在するとき、 $\alpha$ は $K$ 上代数的であると呼ぶ。

命題 2.1   体 $K$ が体 $L$ の部分体であって、 $\alpha\in L$ が $K$ 上代数的であれば、 $K(\alpha)$ の任意の元は $\alpha$ の $K$ 係数の多項式で書くことができる。

上の命題の証明はユークリッドの互除法を用いるのがもっとも普通である。 ユークリッドの互除法については、現3年生は代数学IのNo.8で習っているはずである。 (

http://www.math.kochi-u.ac.jp/docky/kogi/kogi2005_koki/

に 要約が置いてある。) ここでは次の方法を説明しておく。 ユークリッドの互除法より安易だが、計算の手間はこちらのほうが少しだけ増える。

補題 2.2   $K,L,\alpha$ は上の補題の通りとし、$p$ は $p(\alpha)=0$ を満たすような $K$ 係数の多項式であるとする。このとき、任意の $K$ 係数の多項式 $f,g$ に対して、次のことが成り立つ。

1. $g(X)$ を $p(X)$ で割った商を $a(X)$ , 余りを $b(X)$ とする。すなわち、
   $$g(X)=a(X)p(X) +b(X)$$
   とすると、
   $$\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}=\frac{f(\alpha)}{b(\alpha)}$$

2. $p(X)$ を $g(X)$ で割った商を $q(X)$ , 余りを $r(X)$ とする。すなわち、
   $$p(X)=q(X)g(X) +r(X)$$
   とすると、
   $$\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}=-\frac{f(\alpha) q(\alpha)}{r(\alpha)}$$

問題 2.1   $\xi\in {\mathbb{C}}$ は $\xi^5+2\xi+1=0$ を満たすような複素数であるとする。このとき、

$$\frac{1}{1+\xi+\xi^2}$$

を $\xi$ の有理数係数の多項式に直しなさい。