代数学 III 要約 NO.5

今日のテーマ

拡大体の拡大次数、体の自己同型

定義 5.1. K の拡大体 L が与えられているとする。このとき、 L は K 上のベクトル空間とみなすことができる。そのようにみたときの L の K ベクトル空間としての次元を L の K 上の拡大次数と呼び、 [L : K] で書き表す。

命題 5.1. 前回の定理 4.2 で、 L の K 上の拡大次数は m の多項式としての次数と等しい。

定理 4.2 を用いると、次のことが分かる。

定理 5.2. 体 K の拡大体 L_{1} と L_{2} があって、 L_{1} = K(a_{1}), L_{2} = K(a_{2}) をみたすような a_{1} ∈ L_{1} と a_{2} ∈ L_{2} があるとする。もし、 a_{1} と a_{2} の K 上の最小多項式が等しいならば、 L_{1} から L_{2} への環としての準同型写像 ϕ で、 ϕ|_{K} = id, かつ ϕ(a_{1}) = a_{2} を満たすものが唯一つ存在する。

上の定理の ϕ は一種の「共役をとる写像」 (No.1 参照) である。とくに L_{1} と L_{2} とが (たまたま) 等しいときが大事である。

つぎの補題は、本題からは少し外れるが、便利なのであげておく。一部分は一学期の代数学 II でやっているはずである。

補題 5.1 (既約性の判定法). (1)2 次または 3 次の多項式 f(X) ∈ K[X] が K 上既約であるための必要十分条件は、 f(a) = 0 をみたすような a ∈ K が存在しないことである。

(2) 4 次の多項式 f(X) ∈ K[X] が K 上既約であるための必要十分条件は、 f(a) = 0 をみたすような a ∈ K が存在せず、かつ f がいかなる 2 次の因数 g(X) ∈ K[X] ももたないことである。

(3) 整数係数の多項式 f ∈ ℤ[X] にたいして、 f が ℚ[X] 上可約ならば、 f は ℤ[X] 上可約である。 (ガウス)

(4) f ∈ ℤ[X] に有理数解 p/q (p, q は互いに素な整数) が存在するなら、 p は f の定数項の約数であり、 q は f の最高次の係数の約数である。

問題 5.1. ℚ[X]/(X^{2} − 2)ℚ[X] と ℚ[Y]/((Y − 1)^{2} − 8)ℚ[Y] とは環として同型だろうか。 (理由も述べること。 )