代数学 III 要約 NO.6

今日のテーマ

単純拡大の重要性前回までに述べたように、体 K 上一つの代数的な元で生成されるよう

な体K(α) は、 α の最小多項式 m(X) を用いて構成される環 K[X]/m(X)K[X] と同型であり、それを用いて「共役」の概念が確立されることになる。 K に複数の元を付け加えた場合はどうだろうか。次の定理がそれに答える。

定理 6.1. K は ℚ を部分体に持つような体であるとする。 K 上代数的な元 α, β にたいして、

K(α, β) = K(α + cβ)

を満たすような c ∈ K が存在する。 (実は、もっと強く、上の式を満たさないような c ∈ K は有限個しかないということが言える。 )

注意 6.1. 上で、「K は ℚ を部分体に含む」とあるが、そうでない体はこの講義ではほとんど扱わない。上級者向けに、 ℚ を含まない体の例をあげれば、素数 p にたいして、

𝔽_{p} = ℤ/pℤ

で定義されるものがある。 𝔽_{p} の中では通常のように加減乗算ができ、 0 以外の任意の元は乗法に関して逆元をもつ (すなわち、 𝔽_{p} は体である)。ただし、 𝔽_{p} のなかでは 1 を p 回足すと 0 になる (p = 0 である) という点が通常と異なる。

例 6.1. K = ℚ, α = \sqrt{2}, β = \sqrt{3} のとき、 ℚ(α + cβ) = ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) が ∀c ∈ ℚ \ {0} に対してなりたつ。

例 6.2. K = ℚ, α = \sqrt{2} + \sqrt{3}, β = \sqrt{2} − \sqrt{3} のとき、 ℚ(α + cβ) = ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) が ∀c ∈ ℚ \ \{1, −1\} に対してなりたつ。

問題 6.1.

ℚ(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}) = ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5})

が成り立つことを示しなさい。

問題 6.2. α = \sqrt{2} + \sqrt{3}, β = \sqrt{3} + \sqrt{5} とするとき、

ℚ(α + cβ) ≠ ℚ(α, β)

であるような c ∈ ℚ の例を一つ挙げ、その理由を述べなさい。