代数学III 要約 No.6

今日のテーマ

前回までに述べたように、 体 $K$ 上一つの代数的な元で生成されるような体 $K(\alpha)$ は、$\alpha$ の最小多項式 $m(X)$ を用いて 構成される環 $K[X]/m(X)K[X]$ と同型であり、それを用いて「共役」の 概念が確立されることになる。 $K$ に複数の元を付け加えた場合は どうだろうか。次の定理がそれに答える。

定理 6.1   $K$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分体に持つような体であるとする。 $K$ 上代数的な元 $\alpha,\beta$ にたいして、

$$K(\alpha,\beta)=K(\alpha+c \beta)$$

を満たすような $c\in K$ が存在する。(実は、もっと強く、上の 式を満たさないような $c\in K$ は有限個しかないということが言える。)

注意 6.1   上で、「$K$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分体に含む」とあるが、そうでない体はこの講義では ほとんど扱わない。上級者向けに、 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を含まない体の例を あげれば、素数 $p$ にたいして、

$${\mathbb{F}}_p={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$

で定義されるものがある。 ${\mathbb{F}}_p$ の中では通常のように加減乗算ができ、 0 以外の任意の元は乗法に関して逆元をもつ(すなわち、 ${\mathbb{F}}_p$ は体である)。 ただし、 ${\mathbb{F}}_p$ のなかでは $1$ を $p$ 回足すと 0 になる ($p=0$ である) という点が通常と異なる。

例 6.1   $K=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ , $\alpha=\sqrt{2},\beta=\sqrt{3}$ のとき、 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\alpha+c \beta)=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{2},\sqrt{3})$ が $\forall c \in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\setminus\{0\}$ に対してなりたつ。

例 6.2   $K=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ , $\alpha=\sqrt{2}+\sqrt{3},\beta=\sqrt{2}-\sqrt{3}$ のとき、 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\alpha+c \beta)=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{2},\sqrt{3})$ が $\forall c \in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\setminus\{1,-1\}$ に対してなりたつ。

問題 6.1  

   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})=$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$$

が成り立つことを示しなさい。

問題 6.2   $\alpha=\sqrt{2}+\sqrt{3},\beta=\sqrt{3}+\sqrt{5}$ とするとき、

   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\alpha+c \beta) \neq$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\alpha,\beta)$$

であるような $c\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ の例を一つ挙げ、その理由を述べなさい。