代数学 III 要約 NO.8

今日のテーマ

3 次・ 4 次の方程式の解法

X^{3} − aX^{2} + bX − c = 0

を解こう。この方程式の根を x_{1}, x_{2}, x_{3} とする。根が何であるか、具体的に知らないわけだが、その存在は既に知っている。 x_{1}, x_{2}, x_{3} の持つ性質から逆算して、その解き方を見ようというわけだ。

根と解の違いは何だろうか。解は方程式に代入してみたときの答えである。根は、もっと根本的なもので、

(★)  X^{3} − aX^{2} + bX − c = (X − x_{1})(X − x_{2})(X − x_{3})

と一次式の積に因数分解したときに現れるものをさす。 (したがって、当然、根がだぶる (重根) こともある。「根」というときには厳密には多項式 X^{3} − aX^{2} + bX − c の根というのが正しい。 )

上の式 (★) を展開することにより、いわゆる根と係数の関係

x_{1} + x_{2} + x_{3} = a, x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{3}x_{1} = b, x_{1}x_{2}x_{3} = c

が得られる。 a, b, c は知っている数だから、 x_{1}, x_{2}, x_{3} の基本対称式の値を知っているということになる。前回に述べたことにより、 x_{1}, x_{2}, x_{3} の対称式の値もこれらから (x_{1}, x_{2}, x_{3} の値を個別に知らなくても) 計算できる。

したがって、如何にして便利な対称式を作るか、が大事になる。ラグランジュの分解式

r_{1} = x_{1} + ωx_{2} + ω^{2}x_{3}, r_{2} = x_{1} + ω^{2}x_{2} + ωx_{3}

を考えてみよう。 (ただし ω = (−1 + \sqrt{−3})/2.) これら自体は x_{1}, x_{2}, x_{3} の対称式ではないが、

補題 8.1. t_{1} = r_{1}^{3} +r_{2}^{3} と t_{2} = r_{1}^{3}r_{2}^{3} はともに x_{1}, x_{2}, x_{3} の対称式である。

対称式に関する一般論により t_{1}, t_{2} はもとの係数 a, b, c の多項式であることがわかる。 (実際に計算してみると r_{1}r_{2} も対称式であることがわかる。 ) 具体的には

(＊)  \begin{matrix}t_{1} = 2S_{x_{1}^{3}} − 3S_{x_{1}^{2}x_{2}} + 12S_{x_{1}x_{2}x_{3}}, \\ r_{1}r_{2} = S_{x_{1}^{2}} − S_{x_{1}x_{2}},  t_{2} = (r_{1}r_{2})^{3}. \end{matrix}

したがって、 r_{1}^{3}, r_{2}^{3} を二次方程式

X^{2} − t_{1}X + t_{2} = 0

の 2 根として計算することができ、それらの 3 乗根として r_{1}, r_{2} もまた計算できる。そこから x_{1}, x_{2}, x_{3} を出すのは実は一次方程式を解けばよいので簡単である。

4 次方程式の場合を考えよう。 (前ページと記号が一部重複するが混乱しないこと) 根を x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} とおくと、

X^{4} − aX^{3} + bX^{2} − cX + d = (X − x_{1})(X − x_{2})(X − x_{3})(X − x_{4}).

ここから根と係数の関係が得られ、やはり x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} の対称式は a, b, c, d から (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} の値を知らなくても) 計算できる。

ラグランジュの分解式として、

r_{1} = x_{1} −x_{2} +x_{3} −x_{4}, r_{2} = x_{1} −x_{2} −x_{3} +x_{4}, r_{3} = x_{1} +x_{2} −x_{3} −x_{4}

をとる。 r_{1}^{2}, r_{2}^{2}, r_{3}^{2} の基本対称式

u_{1} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{3}^{2}, u_{2} = r_{1}^{2}r_{2}^{2} + r_{2}^{2}r_{3}^{2} + r_{3}^{2}r_{1}^{2}, u_{3} = r_{1}^{2}r_{2}^{2}r_{3}^{2}

はそれぞれ x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} の対称式になっていることが分かり、したがって a, b, c, d から計算できる。すなわち、 r_{1}^{2}, r_{2}^{2}, r_{3}^{2} は

X^{3} − u_{1}X^{2} + u_{2}X − u_{3}

の三根であるから、前段のように巾根を用いて a, b, c, d から計算できる。あとはその平方根を計算すれば、 r_{1}, r_{2}, r_{3} が計算されて、一次方程式の根として x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} が計算されるという仕組である。

問題 8.1. 3 次方程式の解法で、途中の (*) 式を証明しなさい。

問題 8.2. 3 次方程式の解法で、途中の t_{1}, t_{2} を a, b, c で表しなさい。

問題 8.3. 四次方程式の解法で、 u_{1}, u_{2}, u_{3} を a, b, c, d の多項式として実際に書き下しなさい。 (特に難問というほどではないが、計算はかなり面倒である。可能ならば数式処理ソフトなどを活用するとよい。 )