代数学 III 要約 NO.11

今日のテーマ

群の不変体

定義 11.1. L が K のガロア拡大のとき、 G = Gal(L/K) の部分群 H に対して、

L^{H} = {x ∈ L; σ(x) = x ∀x ∈ H}

とおく。これは L と K の中間体である。

つぎのことはすぐにわかる。

補題 11.1. 上の定義の仮定のもとで、 L は L^{H} のガロア拡大である。さらに、 H は自然に Gal(L/L^{H}) の部分群とみなせる。

今日示したい重要な事実は、 H が実は Gal(L/L^{H}) と一致することである。 (下の定理 11.1.) そのためにつぎの補題を用いる。証明には「H による対称化 (平均化)」のテクニックを用いる。

補題 11.2. L は K のガロア拡大であるとする。任意の a ∈ L と G = Gal(L/K) の部分群 H に対して、 L^{H}-係数のモニックな多項式 f(X) で、次の性質を満たすものが存在する。

(1) deg(f) = |H|

(2) f(a) = 0

系 11.1. 上の補題の仮定のもとで、 [L : L^{H}] ≤ |H|.

この系から直ちに、求めたかったつぎのことがわかる。

定理 11.1 (部分群から部分体へ). L が K のガロア拡大のとき、 G = Gal(L/K) の部分群 H に対して、 L は L^{H} のガロア拡大であって、 Gal(L/L^{H}) = H

問題 11.1. L = ℚ(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}) とおく。 G = Gal(L/ℚ) の部分群 H で、位数が 2 あるいは 4 であるものを一つ見つけ、その H に対して L^{H} を決定せよ。