代数学III 要約 No.11

今日のテーマ

定義 11.1   $L$ が $K$ のガロア拡大のとき、 $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ の部分群 $H$ に対して、

$$L^H=\{x\in L; \sigma(x)=x \qquad \forall x \in H\}$$

とおく。 これは $L$ と $K$ の中間体である。

つぎのことはすぐにわかる。

補題 11.1   上の定義の仮定のもとで、$L$ は $L^H$ のガロア拡大である。 さらに、$H$ は自然に $\operatorname{Gal}(L/L^H)$ の部分群とみなせる。

今日示したい重要な事実は、$H$ が実は $\operatorname{Gal}(L/L^H)$ と一致することである。 (下の定理 11.1.) そのためにつぎの補題を用いる。証明には「$H$ による対称化(平均化)」の テクニックを用いる。

補題 11.2   $L$ は $K$ のガロア拡大であるとする。 任意の $a \in L$ と $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ の部分群 $H$ に対して、 $L^H$ -係数のモニックな多項式 $f(X)$ で、次の性質を満たすものが存在する。

1. $\deg(f)=\vert H\vert$
2. $f(a)=0$

系 11.1   上の補題の仮定のもとで、 $[L:L^H]\leq \vert H\vert$ .

この系から直ちに、求めたかったつぎのことがわかる。

定理 11.1 (部分群から部分体へ)   $L$ が $K$ のガロア拡大のとき、 $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ の部分群 $H$ に対して、 $L$ は $L^H$ のガロア拡大であって、 $\operatorname{Gal}(L/L^H)= H$

問題 11.1   $L=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})$ とおく。 $G=\operatorname{Gal}(L/$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$)$ の部分群 $H$ で、 位数が $2$ あるいは $4$ であるものを一つ見つけ、その $H$ に対して $L^H$ を決定せよ。