代数学 III 要約 NO.13

今日のテーマ

ガロアの基本定理 (2)

ガロアの基本定理を、詳細まで込めて書いておこう。

定理 13.1 (ガロアの基本定理). L が K のガロア拡大のとき、 G = Gal(L/K) とおくと、

𝒢 = { G の部分群}

と

ℱ = { L と K の中間体}

のあいだには一対一対応がつく。その対応は、

Φ(H) = L^{H}
Ψ(M) = Gal(L/M)

で与えられる。さらに、 (1) H_{1}, H_{2} ∈ 𝒢 に対して、 H_{1} ⊂ H_{2} と Φ(H_{1}) ⊃ Φ(H_{2}) とは同値。 (2) H ∈ 𝒢 にたいして、 Φ(H) = M とおくと、 Φ(σHσ^{−1}) = σ(M)

がなりたつ。

(3) H ∈ 𝒢 が G の正規部分群であることと、 Φ(H) が K の正規拡大であることとは同値。

問題 13.1. L = ℚ(\sqrt[4]{2}, \sqrt{−1}), K = ℚ とおく。このとき L と K のあいだの中間体 M で、 K 上の拡大次数が 4 であるものを二つあげなさい。

問題 13.2. 前問で、 Gal(L/K) は可換群だろうか、理由をつけて述べなさい。

問題 13.3. 前問で、 Gal(L/K) の群の構造を理由をつけて述べなさい。