代数学III 要約 No.13

今日のテーマ

ガロアの基本定理を、詳細まで込めて書いておこう。

定理 13.1 (ガロアの基本定理)   $L$ が $K$ のガロア拡大のとき、 $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ とおくと、

$$\mathcal G=\{$$    $G$ の部分群$$\}$$

と

$$\mathcal F=\{$$    $L$ と $K$ の中間体$$\}$$

のあいだには一対一対応がつく。その対応は、

$$\Phi(H)=L^H$$

$$\Psi(M)=\operatorname{Gal}(L/M)$$

で与えられる。 さらに、

1. $H_1,H_2\in \mathcal G$ に対して、 $H_1 \subset H_2$ と $\Phi(H_1)\supset \Phi(H_2)$ とは同値。
2. $H\in \mathcal G$ にたいして、$\Phi(H)=M$ とおくと、 $\Phi(\sigma H \sigma^{-1})=\sigma(M)$ がなりたつ。
3. $H\in \mathcal G$ が $G$ の正規部分群であることと、$\Phi(H)$ が $K$ の正規拡大であることとは同値。

問題 13.1   $L=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[4]{2},\sqrt{-1})$ , $K=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ とおく。このとき $L$ と $K$ のあいだの中間体 $M$ で、$K$ 上の拡大次数が $4$ であるもの を二つあげなさい。

問題 13.2   前問で、 $\operatorname{Gal}(L/K)$ は可換群だろうか、理由をつけて述べなさい。

問題 13.3   前問で、 $\operatorname{Gal}(L/K)$ の群の構造を理由をつけて述べなさい。